2023年中考数学二轮专项练习：二次函数压轴题（相似三角形问题）

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数压轴题（相似三角形问题） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2相交于B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求B、C两点的坐标； （3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B． (1)求抛物线的解析式； (2)E（m，0）为x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP． ①点E在线段OA上运动，若△BPD直角三角形，求点E的坐标； ②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°．请直接写出m的值． 3．如图1，抛物线：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线的顶点为G． （1）求出抛物线的解析式，并写出点G的坐标； （2）如图2，将抛物线向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线，设与x轴的交点为、，顶点为，当△是等边三角形时，求k的值： （3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点（介于O与B之间），过点M作x轴的垂线分别交抛物线、于P、Q两点，是否存在M点，使得以A、Q、M为顶点的三角形与以P、M、B为顶点的三角形相似，若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH=． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若时，求点P的坐标； （3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0），点B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的BC段上，是否存在一点G，使得△GBC的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点G的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P是抛物线的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标． 6．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于O、B两点，其顶点A坐标为（1，1），点C为抛物线在第四象限内的一点，其坐标为（3，﹣3）． （1）求抛物线解析式； （2）点D为抛物线在第三象限内的一点，过点D向x轴作垂线段，垂足为H，是否存在点D使得△DHO与△AOC相似，如果存在，请求出点D坐标，如果不存在，请说明理由； （3）点E、F分别为抛物线以及抛物线对称轴上的两动点，请问是否存在以BO为边，B、O、E、F为顶点的平行四边形，如果存在请直接写出点E坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点． （1）求出二次函数和所在直线的表达式； （2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标； （3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线的顶点E的横坐标为1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过点B，与y轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)证明：； (3)是否存在点，使点到A，B，C，D的距离都相等，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)设抛物线与直线另一交点为Q，F为线段上一点（不含端点），连接，一动点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到Q后停止，当点F的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？（直接写出答案） 9．如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣6a与x轴交于A、B两点(A在B点左边)，与y轴负半轴交于C点，OC＝2OA． (1)求抛物线的解析式； (2)E是x轴上方，抛物线上