专题01平面及其基本性质（9个知识点6种考法）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

专题01平面及其基本性质（9个知识点6种考法） 【目录】 倍速学习三种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：平面的概念 知识点2：平面的画法 知识点3：平面的表示 知识点4：点、直线、平面之间位置关系 知识点5：公理 １　 知识点6：公理 2　 知识点7：公理 2的3个推论 知识点8：公理 3　 知识点9：空间图形的平面直观图的画法 【方法二】 实例探索法 考法1：三种语言的转换 考法2:点、线共面问题 考法3：平面的交线问题 考法4：三点（多点）共线问题 考法5：三线共点问题 考法6：空间图形的平面直观图的画法 【方法三】 成果评定法 【教学重点】 通过公理给出空间基本元素点、直线、面的确定方法及其关系。会用文字语言、图形语言和符号语言表示平面，表示点、直线、平面间的关系。通过观察、验证和类比等途径理解公理1、公理2及其推论、公理3，并会在简单的情形下应用它们作为推理依据。了解空间图形的平面直观图的画图规则和步骤，能画出简单平面的直观图。初步形成空间概念，体验公理化思想。 【倍速学习三种方法】 【方法一】脉络梳理法 一、平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象． 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分． 二、平面的画法 在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面． （1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的 2倍； 当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面． 三．平面的表示 为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 四．点、直线、平面之间位置关系 五、公理 １　 如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 六、公理 ２　 不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． 七、根据公理 ２ 可以得到下面的三个推论 ： （1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 八、公理 ３　 如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 对三个公理的理解 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 九、空间图形的平面直观图的画法 我们知道 ， 立体几何的研究对象是空间图形 ． 要将空间图形在一个平面上体现出来 ， 就需要在平面内画出具有立体感的空间图形的直观图 ． 为了把空间图形画得既富有立体感 ， 又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 ， 我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图 ． 下面 ， 我们通过两个例子来体会用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤 ． 【典例1】用斜二测画法画水平放置的平丽图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”；错误的画 “✕ ”； （1）相等的线段在直观图中仍然相等； （2）平行的线段在直观图中仍然平行； （3）一个角的直观图仍是一个角； （4）相等的角在直观图中仍然相等； 【典例2】用斜二测画法画水平放置的平丽图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”；错