专题05 五类圆锥曲线题型-2023年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项练习（新高考专用）

专题05 五类圆锥曲线题型-2023年高考数学大题秒杀技巧及专项练习（原卷版） 圆锥曲线问题一般分为五类： 类型1：圆锥曲线中的轨迹方程问题； 类型2：圆锥曲线中的中点弦问题； 类型3：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题； 类型4：圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题； 类型5：圆锥曲线中的向量问题； 下面给大家对每一个类型进行秒杀处理. 类型1：圆锥曲线中的轨迹方程问题； 1、曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 3、求轨迹方程的方法： 3.1定义法： 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 3.2直接法： 如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3.3代入法（相关点法）： 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 3.4点差法： 圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程. 圆锥曲线中的轨迹方程问题专项训练 1．在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上运动，且，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)设圆上任意一点处的切线交轨迹于点两点，试判断以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标．若不过定点，请说明理由． 2．已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点，点坐标为，当点坐标为时，点坐标为. (1)求双曲线的标准方程； (2)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 3．在平面直角坐标系中，动点到的距离之和为4. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知点，若点是曲线上异于顶点的两个不同的点，且，记的面积为，问是否定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 4．已知，直线相交于，且直线的斜率之积为2. (1)求动点的轨迹方程； (2)设是点轨迹上不同的两点且都在轴的右侧，直线在轴上的截距之比为，求证：直线经过一个定点，并求出该定点坐标. 5．在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点在直线上，为的左右顶点，直线交于点（异于），直线交于点（异于），交于，过作轴的垂线分别交､于，问是否存在常数，使得. 类型2：圆锥曲线中的中点弦问题 1、相交弦中点（点差法） 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 2、点差法 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 圆锥曲线中的中点弦问题专项训练 6．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，其短轴的一个端点到焦点的距离为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为的中点，为椭圆上一点，过且平行于的直线与椭圆相交于，两点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 7．已知斜率为的直线l与抛物线相交于P，Q两点． (1)求线段PQ中点纵坐标的值； (2)已知点，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点（异于P，Q）．则在y轴上是否存在一定点S，使得直线MN恒过该点？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为. (1)若，，求k的值； (2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点，且，求直线l的方程. 9．已知动点T为平面内一点，O为坐标原点，T到点的距离比点T到y轴