数列的求和与和的分析 讲义——2023届高三数学专项复习

数列求和与和的分析 我们首先回顾一下两个重点，然后再看实例。 ☆常见的通项公式求解方式： 1.公式法：通过题干描述、分析、前几项的计算化简等方式确定是等差数列或等比数列。 2.利用，将关于的关系式转化为通项的关系式，或者直接通过该式求得。注意：一定要单独求解，因为这个这里的等式中n≥2，无法代表。 3.匹配法使得{}、{}、{}、{}、{}等成为等差或等比数列。可以根据已知等式的具体构成尝试不同的方向，比如{}一般适用于和的等量关系中；{}一般适用于、和三项存在的等量关系中，{}多用在等式中较多时。 4.因式分解已知条件，再利用1,2,3条解决问题，可以看具体案例： “已知数列{}各项为正，且满足，若，求{}的通项。” ⇒ ⇒ )( 因为{}各项为正，所以，所以，，所以{}为等比数列...... ☆数列的求和方式： 1.公式法。 2.错位相减法。错位相减法在不熟练时需要严格按照步骤解答： ①列出求和式，一般需要列出前3-4项+后2项； ②两边乘以公比，但每一项不必进行计算，保留实数和单项式的幂； ③两式相减，注意一定要错位相减，每一项结果也不要刻意计算； ④首尾项整理，中间各项提取公因式后用等比数列求和公式求解； ⑤进一步合并； 3.裂项相消法。裂项的常见方式主要有以下几类： ① ② ③ 4.分组求和法：将原数列的和式分组成多个基本数列求和的形式，多用于已知数列为，其中与为任意的等差或等比数列、或以上提到的通项方式之一； 5.分类讨论求和：多见于的通项带时，n为奇数或偶数时，前n项的和表达方式有所不同；还可能存在与当本身为分类式数列时； 1.分组求和的案例 例1：已知数列的前项和，，且.数列满足，. (1)求数列，的通项公式；本例中的{}其实是由{}与{}组成，不过我们需要通过比较{}与{}中的项的大小，确定在前100项中，{}的项有多少个，{}的项有多少个。然后通过{}等比数列，{}等差数列，分组进行求和。 (2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和. 【详解】（1）由已知可得，当时， 有， ， 两式相减得：. 又因为， 所以，，满足上式. 所以，. 又， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. 又， 所以，所以. 又， 所以，当时，有 ， ， ， ， ， 两边同时相乘可得， ， 所以，. （2）设100项中，来自于数列中的有项. 若第100项来自于，则应有， 整理可得，，该方程没有正整数解，不满足题意； 若第100项来自于，则应有， 整理可得，. 当时，有不满足， ，故， 所以，数列中含有10项数列中的项，含有90项数列中的项. 所以， . 本例的通项公式需要通过实际求解三角形面积获得规律，属于典型的在分析中发现等比数列。 在第（2）问中，Sn需要通过分类讨论来求解，尤其注意，对于相关的求和问题中，偶数个项的前n项和可以每两项相消后求和；当奇数个项时，可以先求前n-1个项，再加上第n项。 2.分类讨论求和的案例 例2：如图，已知的面积为1，点D，E，F分别为线段，，的中点，记的面积为；点G，H，I分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为． (1)求，，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【详解】（1）由题意可知,，...， 由此可知，故是以公比为的等比数列，所以. （2）由得，， 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 故. 例3：已知数列满足. (1)求的通项公式；由于{}与{}均为分类讨论式通项式，所以{}的前n项和也需要分类讨论。注意：本例的S1、S2是需要单独计算的。 (2)设数列满足求的前项和. 【详解】（1）根据题意可知， 所以 当为奇数时，，即， 所以当为偶数时，； 当为偶数时，，即， 所以当为奇数时，. 综上，,. （2）由（1）可知当为奇数时，若，即，解得， 当为偶数时，若，即，解得， 所以，当时，， 所以. 当时，且为奇数时， 当时，且为偶数时， . 综上， 3.错位相减法求和的案例 例4：已知等比数列的公比为2，数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【详解】（1）当时，， 又，解得． 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故． 则，即． 所以是以2为首项，1为公差的等差数列，故． （2）由（1）可得，，所以． 则①， ②， ①-②可得， 所以． 因为，所以是递增数列． 则，故． 4.求和结果的分析证明 例5：记为正数列的前项和，已知是等差数列.本例总体难度不大，但是容易找不到关键方向。在第（1）小题中，需知晓基本式：；在第（2）小题中，用到了基本不等式解决问题。想要证明不等式，或求出一个代数式的