第二十讲 平面向量的坐标运算 讲义-2023届高三数学一轮复习

第20讲 平面向量的坐标运算 一． 基础知识 1．平面向量的坐标运算 (1)向量加法． 减法． 数乘向量及向量的模 设则 ,, (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设，则 2．平面向量共线的坐标表示 设，其中 3．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量，则，由此得到 (1)若，则|或 (2)设，则两点间的距离 (3)设两个非零向量，，则 二． 典例分析 题型一: 基本概念 【例1】 在平面直角坐标系中，向量的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标． 【变式】在平面直角坐标系中，轴的正向为正东方向，轴的正向为正北方向，质点在坐标平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标． (1)向量表示沿东北方向移动了个单位长度； (2)向量表示沿西偏北方向移动了个单位长度； (3)向量表示沿东偏南方向移动了个单位长度． 【例2】已知，求． 题型二：平面向量的坐标运算 【例3】已知点及，求点和的坐标． 【变式】 已知，求下列向量的坐标：(1); (2); (3)． 【例4】已知，且，则等于(　　) A． B． C． D． 【变式】若，则等于(　　) A． B． C． D． 题型三：平面向量共线的坐标表示及其应用 【例5】已知，当k为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？ 【变式】已知向量．若与共线，则________． 【例6】如图，已知点，求与的交点的坐标． 【变式】在平面直角坐标系中，四边形的边． 已知点，则点的坐标为________． 题型四：平面向量数量积的坐标表示及其应用 【例7】平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则（ ） A． B． C． D． 【例8】设，又，若与的夹角为，求实数的值． 【例9】设，在上的投影为，在轴上的投影为,且，则为（ ） A． B． C． D． 【变式】已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别为和，则，其中（ ） A． B． C． D． 【变式】已知 （1）求与的夹角的余弦； （2）若,求实数的值． 【例10】已知平面向量． (1)若，求的值； (2)若，求|． 题型五：综合应用 【例11】已知，设是直线上的一点(其中为坐标原点)． (1)求使取得最小值时的； (2)对(1)中求出的点，求． 【变式】已知，，存在实数使得且，试求的最小值． 课后作业 1．已知，则点的坐标是________． 2．若，则等于(　　)． A．　　 B． C． D． 3．已知．求：(1); (2); (3)． 4． 已知，判断与是否共线． 5． 已知是坐标原点，．当三点共线时，求的值． 6． 已知分别确定实数的取值范围，使得： （1）与的夹角为锐角；（2）与的夹角为钝角； 7． 已知平面内三点在同一条直线上，，且，求实数的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 平面向量的坐标运算 一． 基础知识 1．平面向量的坐标运算 (1)向量加法． 减法． 数乘向量及向量的模 设则 ,, (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设，则 2．平面向量共线的坐标表示 设，其中 3．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量，则，由此得到 (1)若，则|或 (2)设，则两点间的距离 (3)设两个非零向量，，则 二． 典例分析 题型一: 基本概念 【例1】 在平面直角坐标系中，向量的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标． 【解析】　设则 ，；，； ，． 因此． 【变式】在平面直角坐标系中，轴的正向为正东方向，轴的正向为正北方向，质点在坐标平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标． (1)向量表示沿东北方向移动了个单位长度； (2)向量表示沿西偏北方向移动了个单位长度； (3)向量表示沿东偏南方向移动了个单位长度． 【解析】(1)设， 则，． (2)设，则，． (3)设，则，． 【例2】已知，求． 【解析】（1）；（2）；（3） 题型二：平面向量的坐标运算 【例3】已知点及，求点和的坐标． 【解析】设，由题意可得，． 则有和 解得和 ∴的坐标分别为和，因此． 【变式】 已知，求下列向量的坐标：(1); (2); (3)． 【解析】(1)． (2)． (3)． 【例4】已知，且，则等于(　　) A． B． C． D． 【解析】． 即答案：C