第十八讲 二倍角的正弦、余弦、正切 讲义-2023届高三数学一轮复习

第18讲 二倍角的正弦、余弦、正切A 一．核心知识 核心一：二倍角公式 公式：； ； ． 公式推导： （1）在公式中，令，则有． （2）在公式中，令，则有． （3）在公式中，令，则． 注意：（1）对于“二倍角”要从广义上理解，如是的二倍角；是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等． （2）一般情况下，，例如：，但是当时， 成立，同样在一般情况下也不成立． （3）当时，的值不存在，这时的值可利用诱导公式求解，即． 核心二：万能公式 二．重难点题型 题型一：二倍角公式的正用 【例1】已知，，求的值。 【变式】已知求的值． 【例2】已知，那么的值是（ ） A．  B．  C．    D． 【变式】已知，则的值为________． 【拓展】已知，且，求，，的值． 题型二：二倍角公式的逆用 逆用公式：； ； ； ． 通过逆用二倍角公式可实现三角函数的降幂转化，同时完成角的转化． 【例3】化简下列各式： （1）； （2）； （3）． 【变式】求值： （1）；（2）；（3）． 【例4】已知，则( ) A． B． C． D． [来源:学#科#网 【变式】已知，求的值． 源:学#科 【拓展】求值：． 题型三：二倍角公式的变形 升幂公式： ； ． 降幂公式： ；． 说明：，常用来为开方作准备， 而为降幂提供方便，以上变形可作为公式应用，三角函数的化简、求值、证明均离不开这些公式． 【例5】等于（ ）． A． B． C． D． 【变式】化简： 题型四：综合应用 【例6】求的值域． 【变式】求函数的值域． 【例7】 设函数（其中），且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标为． （1）求的值； （2）如果在区间上的最小值为，求的值． 【变式】设函数，且图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值． 课后作业 一．基础过关 1．已知，则的值为_______________． 2．若， 则 ． 3．已知，化简：． 4． 求值：． 5．求函数的最小正周期和最小值，并写出该函数在上的单调的增区间． 二．延伸拓展 6．已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； （Ⅱ）若，求的值。 ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 二倍角的正弦、余弦、正切A 一．核心知识 核心一：二倍角公式 公式：； ； ． 公式推导： （1）在公式中，令，则有． （2）在公式中，令，则有． （3）在公式中，令，则． 注意：（1）对于“二倍角”要从广义上理解，如是的二倍角；是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等． （2）一般情况下，，例如：，但是当时， 成立，同样在一般情况下也不成立． （3）当时，的值不存在，这时的值可利用诱导公式求解，即． 核心二：万能公式 二．重难点题型 题型一：二倍角公式的正用 【例1】已知，，求的值。 【解析】因为， 所以 所以， 【变式】已知求的值． 【解析】由得． 又因为． 于是 ；． 【例2】已知，那么的值是（ ） A．  B．  C．    D． 【解析】因为，所以，选B． 【变式】已知，则的值为________． 【解析】 原式= 【拓展】已知，且，求，，的值． 【解析】由，得， 即，∴ 由，得， ∴． 即． 整理得． 解得或（舍去）． ∴． ∴． 题型二：二倍角公式的逆用 逆用公式：； ； ； ． 通过逆用二倍角公式可实现三角函数的降幂转化，同时完成角的转化． 【例3】化简下列各式： （1）； （2）； （3）． 【解析】（1）． （2）． （3）． 【变式】求值： （1）；（2）；（3）． 【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=． 【例4】已知，则( ) A． B． C． D． [来源:学#科#网 【解析】，故选C． 【变式】已知，求的值． 【解析】，由此得 解得或．[来源:学