第十七讲 两角和与差的正、余弦和正切 讲义——2023届高三数学一轮复习

第17讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一．核心知识 核心一：余弦公式        核心二：正弦公式        核心三：正切公式 =      = 两角和差的正切公式变形式： 二．重难点题型 题型一：给角求值 【例1】的值是(　　) A． B． C． D． 【变式】=（ ） 　　A． 　　　B． C． 　　D． 题型二：给值求值 【例2】已知．求. 【变式】已知．求． 题型三：给值求角 【例3】已知，且，求的值． 【变式】已知且满足，求． 题型四：三角函数式的化简求值 【例4】化简：． 【变式】求值：． 题型五：三角函数恒等式的证明 【例5】已知：求证： 【变式】在中，求证：． 题型六：辅助角公式 【例6】在中， ，则的值为(　　) A． B． C． D． 【变式】当时，函数的（ ）． A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为，最小值为 D．最大值为，最小值为 【例7】求函数的最大值和最小值，并求出相应的值． 【变式】若，求的单调区间． 三．易错点：角的范围 【例8】已知，且，求的值． 【变式】已知是方程的两根，若，则（ ）． A． B．或 C．或 D． 课后作业 1． 2．＝(　　) A． 　　　　B． 　　　　　　C． 　　　　　　D． 3．已知，均为锐角，，，求的值． 4．已知，，且，，求的值． 5．化简的值等于（ ）． A．1 　　B．2 　　C． 　　D． 6．已知． （1）求； （2）求． 7．（1）已知且求的值． （2）在中，，，求的值． ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一．核心知识 核心一：余弦公式        核心二：正弦公式        核心三：正切公式 =      = 两角和差的正切公式变形式： 二．重难点题型 题型一：给角求值 【例1】的值是(　　) A． B． C． D． 【解析】原式选． 【变式】=（ ） 　　A． 　　　B． C． 　　D． 【解析】 故选． 题型二：给值求值 【例2】已知．求. 【解析】因为， 所以 ； . 【变式】已知．求． 【解析】 题型三：给值求角 【例3】已知，且，求的值． 【解析】， 所以 又 可得：． 故． 【变式】已知且满足，求． 【解析】由题可得：， 所以 ． 又因为，所以，所以． 题型四：三角函数式的化简求值 【例4】化简：． 【解析】原式 ． 【变式】求值：． 【解析】原式． 题型五：三角函数恒等式的证明 【例5】已知：求证： 【证明】 【变式】在中，求证：． 【证明】因为，即，可得． 所以，即． 故得证． 题型六：辅助角公式 【例6】在中， ，则的值为(　　) A． B． C． D． 【解析】原式 故选A. 【变式】当时，函数的（ ）． A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】D 【解析】 ，则，所以． 【例7】求函数的最大值和最小值，并求出相应的值． 【解析】 ，此时， 此时， 【变式】若，求的单调区间． 【解析】 由及 得及 又 所以当时，是增函数；当时，是减函数． 所以单增区间为，单减区间为． 三．易错点：角的范围 【例8】已知，且，求的值． 【解析】因为， 所以，又， 所以． 而， 则，所以， 而，则， 结合，则有，所以． 【变式】已知是方程的两根，若，则（ ）． A． B．或 C．或 D． 【解析】由题：，所以． 又因为，所以，所以或． 而由且可知，所以， 所以，即，故选． 课后作业 1． 【解析】原式 2．＝(　　) A． 　　　　B． 　　　　　　C． 　　　　　　D． 【解析】原式 故选． 3．已知，均为锐角，，，求的值． 【解析】由 4．已知，，且，，求的值． 【解析】由及，得，则． 由及，得，则． ． 5．化简的值等于（ ）． A．1 　　B．2 　　C． 　　D． 【解析】原式 ． 6．已知． （1）求； （2）求． 【解析】因为， 所以 （1）； （2）．