2023九年级数学中考复习 四边形综合 正方形专题

2023九年级数学中考复习 四边形综合 正方形专题 1．（2023•金寨县一模）如图，在边长为2的正方形中，是边上一动点（不含，两点），将沿直线翻折，点落在点处，在上有一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，． （1）求证：； （2）求的周长； （3）求线段长度的最小值． 2．（2023•周村区一模）如图，在正方形中，是边上的一点，过点作的垂线交于点，交于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）若，，求的面积． 3．（2023春•江岸区期中）（1）【操作与探究】如图1，正方形中，点、分别是，上一点，，延长至点，使得，连接，，请根据题意画出图形．①求证：；②若，，求正方形的边长． （2）迁移与应用如图2，正方形中，点在边上（不与端点重合），、分别是，上一点，交于点，，若，直接写出的值：　　． 4．（2023•东莞市校级模拟）如图，已知正方形在边上取点，连接．将沿着翻折，点的对应点是．连接，，过点作，交的延长线于点，连接． （1）若，求的正切值． （2）求的大小． （3）当落在上时，证明：． 5．（2023春•江岸区校级月考）如图1，在矩形中，点是边上一点，于点，交于点． （1）求证：； （2）如图2，若，． ①直接写出　　； ②求的值； （3）如图3，若，，直接写出　　．（用含有的代数式表示） 6．（2023•江西模拟）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果，那么称点为线段的黄金分割点． （1）【问题发现】如图1，请直接写出与的比值是 　　； （2）【尺规作黄金分割点】如图2，在中，，，，则　　，在上截取，则　　，在上截取，则的值为 　　； （3）【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点； （4）【拓展延伸】如图4，正方形中，为对角线上一点，点在边上，且，当为的黄金分割点时，，连，延长交于，请用相似的知识求出的值为 　　． 7．（2023•历下区一模）如图1，已知正方形与正方形有公共顶点，点在正方形的对角线上． （1）如图2，正方形绕点顺时针方向旋转，和的数量关系是 　　，位置关系是 　　； （2）如图3，正方形绕点逆时针方向旋转，求的值以及直线和直线所夹锐角的度数； （3）如图4，，点在对角线上，，将正方形绕顺时针方向旋转，点是边的中点，过点作交于点；在旋转过程中，线段的长度是否变化？如果不变，请直接写出的长度；如果改变，请说明理由． 8．（2023•鄞州区校级一模）（1）特殊发现 如图1，正方形与正方形的顶点重合，、分别在、边上，连接，则有： ①　　； ②直线与直线所夹的锐角等于 　　度； （2）理解运用 将图1中的正方形绕点逆时针旋转，连接、， ①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，若、、三点在同一直线上，且过边的中点，，直接写出的长 　　； （3）拓展延伸 如图4，点是正方形的边上一动点（不与、重合），连接，沿将翻折到位置，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，则的值是否是定值？请说明理由． 9．（2023•庐阳区校级一模）【初步尝试】 （1）如图1，在正方形中，点，分别为、边上的点且，求证：． （2）【思考探究】 如图2，在矩形中，，，点为中点，点为上一点，连接、且，求的值． （3）【拓展应用】 如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且．直接写出的值． 10．（2023•昆明模拟）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题： 如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，交于点，求证：． 数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下： 由正方形的性质得到，， 再由垂直和平行可知， 再利用同角的余角相等得到， 则可根据“”判定， 得到，所以． 【建立模型】 该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题： （1）如图2，四边形是正方形，，是对角线上的点，，连接，． 求证：四边形是菱形； 【模型拓展】 该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点； （2）如图3，若正方形的边长为12，是对角线上的一点，过点作，交边于点，连接，交对角线于点，，求的值． 答案版 1． 【解答】证明：（1），， ， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ． （2）将沿直线翻折，点落在点处， ，，，且四边形是正方形， ，， 又， ， ， 的周长为： ； 所以的周长为4． （3）设，则， ， ， ， 作于， ， 最小时最小， ， 时，最小值， 的最小值， 所以，线段长度的最小值为． 2．