江苏省南通市如东县等2地2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题

江苏省南通市如东县等2地2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则集合的子集个数为　　 A．3 B．4 C．8 D．16 2．已知非零向量，，，则“”是“”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 3．已知实数，满足是虚数单位），则　　 A．5 B．3 C． D． 4．时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6，相应的时针转过角度为，则的值为　　 A． B． C． D． 5．已知与是方程的两个根，则实数的值为　　 A． B． C． D． 6．求的值为　　 A． B． C． D． 7．已知在中，，分别为边，上一点，且，，与交于，若，则为　　 A． B． C． D． 8．正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．若，，，，设，．下列说法正确的是　　 A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若是实数，则 10．下列说法中正确的为　　 A．若向量，，则 B．若与是共线向量，则点，，，必在同一条直线上 C．若平面上不共线的四点，，，满足，则 D．若非零向量，满足，则与的夹角是 11．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作．给出下列结论，其中正确的为　　 A．函数在上单调递增 B．若，则 C．若，，，则的最小值为0 D．若，则的最小值为 12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有　　 A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若复数满足，则的最小值为 　　． 14．水平放置的平行四边形，用斜二测画法画出它的直观图，如图所示．此直观图恰好是个边长为的正方形，则原平行四边形的面积为 　　． 15．设，，是平面上两个向量，若且，则　　． 16．若是边上一点，且，，则的最大值为 　　． 四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）已知复数，，其中为虚数单位． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若，求的值． 18．（12分）已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 19．（12分）设函数． （1）当，时，求的最大值； （2）若，且，求的值． 20．（12分）如图，在中，，，为内角，，的对边．已知，分别为边上两点，且，平分线，，，． （1）求角的大小及边的长度； （2）求的面积． 21．（12分）如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设． （1）当为何值时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； （2）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求． 22．（12分）如图所示中，，是的重心，边上的高为，过的直线与，分别交于点，，已知，． （1）求的值； （2）若，，，求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市如东县等2地2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题 【参考答案】 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则集合的子集个数为　　 A．3 B．4 C．8 D．16 【分析】列举出集合中的元素，再计算子集个数． 【解答】解：，1，2，共4个元素， 的子集有个． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法及集合子集，属于基础题． 2．已知非零向量，，，则“”是“”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【分析】根据向量数量积的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若“”，则“”成立，即必要性成立， 若“”，则，，， 则，，，无法判断“”，即充分性不成立， 则“”是“”的必要不充分条件． 故选