四川省宜宾市叙州区第二中学校2022-2023学年高二下学期期中考试理科数学试题

叙州区第二中学2023年春期高二期中考试 数学（理工类） 第I卷 选择题（60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为，现用分层抽样抽取一个容量为的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为，则该学校学生的总数为 A． B． C． D． 2．命题“”的否定是 A． B． C． D． 3．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为 A． B． C． D． 5．如图，某系统使用，，三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件，，正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为 A．0.196 B．0.504 C．0.686 D．0.994 6．已知正四棱柱中，，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为 A． B． C． D． 7．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是 A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285 8．已知直线l分别与函数和的图象都相切，且切点的横坐标分别为，，则 A．e B． C．1 D．2 9．除以的余数是 A． B． C． D． 10．已知，是焦点在轴的双曲线（，）的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为 A．3 B． C．2 D． 11．直线和将圆分成4部分，用5种不同颜色给四部分染色，每部分染一种颜色，相邻部分不能染同一种颜色，则不同的染色方案有 A．120种 B．240种 C．260种 D．280种 12．已知定义在上的函数满足，当时，．则的解集为 A． B． C． D． 第II卷 非选择题（90分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为___________. 14．函数的单调递减区间为____________. 15．将4瓶外观相同，品质不同的酒让品酒师品尝，要求按品质优劣将4种酒排序，经过一段时间后，再让其品尝这4瓶酒，并让他重新按品质优劣将4种酒排序．根据测试中两次排序的偏离程度评估品酒师的能力．表示第一次排序为1，2，3，4的四种酒分别在第二次排序中的序号，记为其偏离程度，假设为1，2，3，4的等可能的各种排列．假设每轮测试之间互不影响，表示在1轮测试中的概率，表示在前3轮测试中恰好有一轮的概率，则____________． 16．过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线经过点，为抛物线的焦点，则的值为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（12分）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级， 为优； 为良； 为轻度污染； 为中度污染； 为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的的茎叶图如下： （1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（）的天数；（按这个月总共30天计算） （2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率； （3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望. 18．（12分）已知函数在处取得极值， （1）求的值及的单调区间； （2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值. 19．（12分）如图，四棱锥中，，点是的中点，点G在线段DC上，且. （1）求证：平面； （2）若平面，，，求二面角的正弦值. 20．（12分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，点，点在线段的中垂线上．                                                 （1）求椭圆的方程；                                                 （2）设直线与椭圆交于两点，直线与的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定