圆锥曲线-斜率之商2（蝴蝶定理）-2023届高三数学二轮专题复习讲义

微专题、蝴蝶定理在圆锥曲线的应用 蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早作为一个征解问题出现于公元1815年提出，“蝴蝶定理”这个名称最早出现于《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶，因而得名。 蝴蝶Th：设Q为圆内弦XY的中点，过Q作弦AB和CD。设AD和BC各相交XY于点P和R，则Q是PR的中点。 进一步，去掉Q中点的条件，可得“坎迪定理”。 坎迪Th：当Q不为中点时，如右图，满足 。 定理原本只是圆的背景，通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况） 蝴蝶Th： 圆锥曲线上弦XY的中点为Q，过Q作弦AB和CD。设AD和BC各相交XY于点P和R，则Q是PR的中点。 坎迪Th：当Q不为中点时，如右图，满足 。 以上定理证明省略，利用蝴蝶定理能够更深入的了解圆锥曲线的背后现象，但不能作为真正高考题的解题规范书写。下面以2020年全国理科1卷20题为例分析。 典 型 例 题 【例题】（2020年全国理科1卷20题改编） 已知分别为椭圆E：的左、右顶点，直线过定点，记直线的斜率为，求的值。 解：法1、常规方法(省略) 法2、蝴蝶定理法 过点，交于点, 显然的中点; 由蝴蝶定理得：的中点，即； 变式1、已知分别为椭圆E：的左、右顶点，直线过定点。 求证：直线 解：由例题可得，记直线的斜率为，， 令直线直线， 联立得。 变式2、（2020年全国理科1卷20题原题） 已知分别为椭圆E：的左、右顶点，为直线x=6上的动点，与E的另一交点为，与E的另一交点为． (1) 省略，(2)证明：直线过定点. 解：(2) 法1、常规方法(省略) 法2、蝴蝶定理法 设直线与轴相交于点, 过点，交于点; 显然的中点，由蝴蝶定理得：的中点，即 ；…① 又, …② 由①①得，即， 解得，故直线过定点． 【备注】 1、 蝴蝶定理的方法可以做为了解问题相关背景，预判结果，但不能作为相关解答； 2、从蝴蝶定理的方法，我们实际上得到了定点和斜率之比的有关结论： 对于椭圆，过x轴做线得右图，有。 证：过点，交于点; 显然的中点，由蝴蝶定理得：的中点，即 故，得证。 *3、更进一步，椭圆、双曲线和抛物线中一般的蝴蝶型，仿如上方法： 具体有如下结论： (1)对于椭圆，直线过x轴,直线,有： ; 。 ; (2)对于双曲线，直线过x轴,直线,有： ; 。 ; (3)对于抛物线，直线过x轴,直线,有： ; ) 。) ; 举 一 反 三 【训练1】（2022年全国甲卷21题改编） 1．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C另一个交点分别为A，B，记直线的斜率为，求的值。 【训练2】 2．已知双曲线的离心率为，右焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若分别是的左､右顶点，过的直线与交于两点（不同于）.记直线的斜率分别为，请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 【训练3】 3．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：，F是椭圆的右焦点且椭圆C与圆M：外切，又与圆N：外切． (1)求椭圆C的方程． (2)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，E两点，证明：直线DE过定点． 参 考 答 案 参考答案的解答都是常规方法 1.解：(1)抛物线C的方程为； (2) 法1：常规方法 设，直线， 联立直线，得，， 联立直线，得，， 所以，同理可得， 由斜率公式可得，，所以 法2：三点共线 设， 由M、N、F三点共线，得，       由M、D、A三点共线，得，       由N、D、B三点共线，得， 则，AB过定点（4,0） *法3：蝴蝶定理法 2．（1）曲线的方程为. （2）由（1）可知. 设直线的方程为，点，点，则. 由得，所以. ，所以. 又，所以综上，为定值，且. 3（1）易知圆圆心，半径为4，过点，和椭圆外切，切点必为，故， 圆圆心，半径为，过点，和椭圆外切，切点必为，故， 故椭圆C的方程为； （2）设，因为三点共线，又，则， 即（★），又因为点均在椭圆上，则，可变形为，代入中， 整理可得，结合（★）式得（✰）， ★✰式联立解得， 同理可得，所以直线的方程为，即， 又，所以直线DE的方程为， 故直线DE过定点. 第4页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $