圆锥曲线-斜率之商1（常规方法）-2023届高三数学二轮专题复习讲义

微专题、斜率之商 在圆锥曲线的问题中，除了斜率之和，斜率之积的相关问题，还有一类斜率之商的问题，比如(如右图).此类问题背景经常以曲线中的四边形形式出现，形状类似蝴蝶，即求蝴蝶翅膀线的斜率比值。 在解决问题时，常用的方法如下： 法1：直接运算，时常会碰到不对称结构，故而要用到非对称韦达的相关技巧； 法2：先猜后证，采用逆向分析，避免出现不对称结构； 法3：转移运算，因涉及到定点定值问题，可以利用其他辅助线的斜率定值信息转化； *法4：蝴蝶定理方法，因涉及到曲线上四点，可用蝴蝶定理方法，具体看相关材料； *法5：二次曲线系方法，参看二次曲线系的材料。 典 型 例 题 【例题】 已知椭圆：的离心率为，长轴为4. (1)求的方程. (2)设，分别为椭圆的左、右顶点，过右焦点作斜率不为0的直线，与交于，两点，记的斜率为，的斜率为.证明：为定值； 解：(1)椭圆的方程为； (2) 法1：常规联立+非对称韦达 因为过右焦点且斜率不为0，所以可设的方程为， 联立,消去得， 显然,设点，，得， 且可得，故 所以非对称韦达处理： 技巧1：和积转化； 技巧2：配凑半代换； ， 另解：， 法2：先猜后证 由特殊位置猜测，故即证对任意的，有，猜测也可以由结论得到： 同法1中得，即证， 即证3，即证，由韦达得成立，证毕。 法3：斜率转化 同法1得韦达定理，连，记的斜率为 所以， 在椭圆中，由第三定义可知， 所以，两个斜率相除可得：． *法4：蝴蝶定理方法，参看相关材料； *法5：二次曲线系方法，参看二次曲线系的材料。 【备注】 1、 从本题的方法看，各种方法注意对比： (1)法1的关键是非对称结构的处理，和积转化和配凑半代换是比较常见的处理策略； (2)法2的关键是用特殊情况处理，或用结论猜题，避免非对称结构； (3)法3的关键是熟记各种斜率定值结论，巧妙转化，避免非对称结构； 2、问题可一步设问：“若直线与直线交于点，求证：点在定直线上.” 简证：知，故直线为：，直线为，联立得，证毕。 3、一般地，对于椭圆，过右焦点做线得右图，有： (1)相邻两边斜率之积有定值： ， ， ，， (2)相对两边斜率之比有定值： ， ； 4、进一步，对于椭圆，过x轴做线得右图，有： (1)相邻两边斜率之积有定值： ， ， ，， (2)相对两边斜率之比有定值： ， ； *5、更进一步，椭圆、双曲线和抛物线中一般的蝴蝶型，有如下结论： (1)对于椭圆，直线过x轴,直线,有： ; 。 ; (2)对于双曲线，直线过x轴,直线,有： ; 。 ; (3)对于抛物线，直线过x轴,直线,有： ; ) 。) ; 举 一 反 三 【训练1】 已知椭圆的离心率为，其左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于点（点在轴的上方）. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值，并加以证明；若不是定值，说明理由. 【训练2】 2．已知双曲线的离心率为，右焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若分别是的左､右顶点，过的直线与交于两点（不同于）.记直线的斜率分别为，请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 【训练3】 3．设点，动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)点，过F的直线交C于 两点，连接 ，与C的另一个交点分别为 ，记直线的斜率分别为．求证：为定值． 参 考 答 案 1.【详解】（1）因为，解得,所以椭圆方程为 （2）为定值，理由如下：设的方程为，，设，，不妨设. 由可得，，，. 所以，即. . 综上所述：. 2．（1）曲线的方程为. （2）由（1）可知. 设直线的方程为，点，点，则. 由得，所以. ，所以. 又，所以综上，为定值，且. 3．解:（1）曲线C的方程为. （2）证明：由题意设 ， 设直线， 由，可得 ， ． 由斜率公式可得 ， 直线 ，代入抛物线方程可得 ， ，所以 ， 直线 ，代入抛物线方程可得 ， ，所以 ， 故 ，即，所以，即为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $