圆锥曲线-斜率之积2-2023届高三数学二轮专题复习讲义

微专题、斜率之积2 从圆锥曲线上一点引两条直线，由此可设置相关问题，因形状类似筷子，故称为筷子问题 (如右图筷子PA、PB). 特别地： Th: 从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P引两条直线，分别和曲线交于A、B两点。若kPAkPB=，则直线AB过定点。 可以以定理中kPAkPB=的特殊情况来命制题目，具体常用证明的方法有： 法1：假设直线AB，联立曲线得A、B两点韦达信息，再由kPAkPB=分析信息； 法2：假设直线PA、PB，联立曲线得A、B坐标，再求直线AB，再分析得定点； *法3：平移坐标齐次化，假设直线AB为mx’+ny’=1,再进一步处理； *法4：二次曲线系方法，详见二次曲线的专题材料； 典 型 例 题 【例题】 椭圆C上任意一点P(x，y)到点F(－1，0)的距离与到直线x =－4的距离的比等于． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C相交于M，N两点，A(2，0)，且满足 =1．证明：直线l过定点． 解：(1)椭圆C的标准方程为． (2)法2：直线MN ① 当直线l的斜率存在时，设直线l为:， 联立 计算优化-点乘双根 若直线的斜率存在，设方程为， 令，则． 又， 令，则． 因为，所以 所以, 得, 消去y得=0， 则 =)＞0， 令， 得，， 于是 ，               即， 即()) 化简得 即          (i)当时，直线为，过(2，0)，舍去； (ii)当时，直线为，过点(，0)． ②当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意．            综上，则直线l过定点(，0)． 法2：直线AM +AN (假设直线AM、AN，然后求M、N，计算省略) 法3：平移坐标系 平移原坐标系，原O点平移至点A处，建立新的直角坐标系x’Ay’ 则在新的坐标系下椭圆的方程为， 设直线的方程为． 将直线方程与椭圆方程联立得3， 即3，化简得， 即． 设，因为 ，即． 代入直线方程中得．则在新坐标系下过定点， 则在原坐标系下直线过定点． 【备注】 1、 从条件上看，，值可以随意替换； 2、 从问题上看，直线过定点，即蕴含着一个不变的量，可由此进一步命制问题，解决的关键是求证直线过定点； “(2)若直线l与椭圆C相交于M，N两点，A(2，0)，且满足 =1．求面积的最大值” ...... 3、 从方法上看，法1是通法常用，不过可以用点乘双根简化计算量，都是分析参数 ；另外如果猜的到定点在轴，也可假设:,等下计算就变成求参数的值！ 法2因为假设后联立分别求M，N两点，还要求直线M，N，计算量大； 法3不常用，但是抓住了斜率积为这一条件展开； *4、更进一步,从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P引两条直线，分别和曲线交于A、B两点： (1)从椭 圆上，若kPA kPB=λ(≠)，则直线AB过定点； (2)从双曲线上，若kPAkPB=λ(≠)，则直线AB过定点； (3)从抛物线y2＝2px上， 若kPA kPB=λ(≠0)，则直线AB过定点； 备注：λ=时，即两直线垂直，是如上结论的特例。以椭圆为例，点P在轴时，定点在轴；点P在轴时，定点在轴! *5、另注意如下： (1)从椭 圆上，若kPA kPB=，则直线AB斜率是定值； (2)从双曲线上，若kPAkPB=，则直线AB斜率是定值； 举 一 反 三 【训练1】 1．已知抛物线的焦点到准线的距离与双曲线的离心率相等. (1)求抛物线的方程； (2)若点在抛物线上，过作抛物线的两弦与，若两弦所在直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【训练2】 2．已知点在椭圆：()上，且点到椭圆右顶点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若点，是椭圆上不同的两点(均异于)且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由． 【训练3】 3．点在双曲线上，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)是双曲线上的两个动点(异于点)，分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标. 1．【详解】(1)抛物线的方程为 .参 考 答 案 (2)因为点在上，则，从而.   设点，显然直线的斜率不为0. 设直线，由， 有    所以，，  因为，则.        又因为在抛物线上，所以则， 所以，即    从而，即.         即直线，即，所以直线过定点. 2.【详解】(1)椭圆的方程为． (2)由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为()，，，．联立得． ．∴，， ∵直线与直线斜率之积为．∴，∴． 化简得， ∴， 化简得，解得或． 当时，直线方程为，过定点． 代入判别式大于零中，解得()． 当时，直线的方程