圆锥曲线-斜率之和2-2023届高三数学二轮专题复习讲义

微专题、斜率之和2 从圆锥曲线上一点引两条直线，由此可设置相关问题，因形状类似筷子，故称为筷子问题 (如右图筷子PA、PB). 特别地： Th: 从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P引两条直线，分别和曲线交于A、B两点。若kPA+kPB=λ(≠0)，则AB过定点；反之成立，即若AB过定点，则kPA+kPB=λ(≠0)。 我们经常以上定理的特殊情况来命制题目，具体常用证明的方法有： 法1：假设直线AB，联立曲线得A、B两点韦达信息，再求kPA+kPB； 法2：假设直线PA、PB，联立曲线得A、B坐标，再求kAB； *法3：三点P、A、B都在曲线上，直接进行点差运算； *法4：平移坐标齐次化，假设直线AB为mx’+ny’=1,再进一步处理； 典 型 例 题 【例题】(2017年全国1卷理20) 已知椭圆C：（a>b>0），四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3(–1，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上. (1) 求C的方程； (2) 设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 解：(1)方程为. (2) 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2， 法1：直线AB ①如果l与x轴垂直，设l：x=t，知，且，可得A（t，），B（t，），则，得，不符合题设. ②从而可设l：（）.代入得 由题设可知. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=. 而.要点： 设直线AB写韦达， 然后由k1+k2=–1得双参关系, 由题设，故. 即. 解得. 当且仅当时，，欲使l：，即， 所以l过定点(2，) 法2：直线PA+PB 由题知直线P2A、P2B的斜率存在且不为0，分别设为k1、k2，依题得k1+k2=–1； 设直线P2A的方程为：y=k1x+1 联立椭圆得(4k12+1)x2+8k1x＝0，所以xA＝－，即A(－,) 同理可得B(－,); ∴kAB=＝...= 进而得到直线AB方程为y－=(x+) ∴y=(x+)+=...要点： 设直线PA+PB求直线AB， 然后分析直线AB， 但，计算量大！ =(x–2)–1, ∴l过定点(2，) *法3：点差法 依题有P(x0，y0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为三点都在曲线上，代入点差运算; (具体省略，具体可参考微专题-斜率相反数) *法4：平移坐标齐次法 以点P2为原点，建立新直角坐标系x’P2y’，联立+(y’+1)2=1和mx’+ny’=1求解; (具体省略，具体可参考微专题-斜率相反数) 【备注】 1、 从条件上看，只要是曲线上的点命制题目，有k1+k2＝λ(≠0)，都会得到直线过定点； 2、 从问题上看， ①可以以直线AB过定点基础上进一步命制问题，比如O到直线距离的最小值等： ......解决的关键都是先证直线AB过定点； ②把条件和结论对换，依然成立，即：若直线AB过定点(2，)，则k1+k2＝–1; 3、 从方法上看，法1法2常用，法3法4不常用，但都是抓住斜率和为定值这一条件展开； *4、更进一步,从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P引两条直线，分别和曲线交于A、B两点： (1)从椭 圆+＝1上，若kPA+kPB=λ(≠0)，则直线AB过定点； (2)从双曲线－＝1上，若kPA+kPB=λ(≠0)，则直线AB过定点()； (3)从抛物线y2＝2px上， 若kPA+kPB=λ(≠0)，则直线AB过定点()； 举 一 反 三 【训练1】 1.已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上． (1)求抛物线C的方程； (2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点． 【训练2】 2．已知椭圆上有点，左、右焦点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 直线斜率存在,且 满足，求证：直线恒过定点． 【训练3】 3．已知双曲线，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点（均异于点），求直线的斜率之和. 参 考 答 案 1．(1)P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x． (2)证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0， ，同理：，由题意：， ∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1， 故直线AB恒过定点(﹣1，0)． 2.解（1）根据椭圆定义得，，即 ， ，故