圆锥曲线-斜率之和1-2023届高三数学二轮专题复习讲义

微专题、筷子问题（斜率相反数）微专题、斜率之和1（斜率相反数） 从圆锥曲线上一点引两条直线，由此可设置相关问题，因形状类似筷子，故称为筷子问题 (如右图筷子PA、PB). 特别地： Th: 从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P引两条直线，分别和曲线交于A、B两点。若kPA+kPB=0，则kAB为定值；反之成立，即若kAB为定值，则kPA+kPB=0。 我们经常以上定理的特殊情况来命制题目，具体常用证明的方法有： 法1：假设直线AB，联立曲线得A、B两点韦达信息，再求kPA+kPB； 法2：假设直线PA、PB，联立曲线得A、B坐标，再求kAB； *法3：三点P、A、B都在曲线上，直接进行点差运算； *法4：平移坐标齐次化，假设直线AB为mx’+ny’=1,再进一步处理； 典 型 例 题 【例题】 如图所示，已知点是抛物线上一定点，直线MA、MB的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A、B两个不同的点. (1)省略；(2)求证：直线AB的斜率为定值. 证明：(2)法1：直线AB 由题知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：y=kx+t 联立得ky2－4y+4t＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得 y1+y2＝，y1y2＝; ∵kMA+kMB＝0，∴+=+===0， 解得k=－，得证。 法2：直线MA+MB 由题知直线MA、MB的斜率存在且不为0，设直线MA的方程为：y－3=k(x－) 联立得ky2－4y+－9＝0，所以，∴；要点： 步骤1.先假设MA； 步骤2.再联立求A； 步骤3.同理得B； 步骤4.再计算AB； ∵直线MA、MB的斜率互为相反数，同理可得： ∴ ，得证。 *法3：点差法 依题有M(x0，y0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为三点都在抛物线上， 即由y12－y02=4x1－4x0, 得=；由y22－y02=4x2－4x0, 得=； 因为kMA+kMB＝0，即+=0，得+=0，即y1+y2=－6； 所以y12－y22=4x1－4x2, 得==－=－，得证。 *法4：平移坐标齐次法 以点M为坐标原点，建立新的直角坐标系x’My’， 原方程：y2=4x则转换到新坐标就成为：(y’+3)2=4(x’+)，展开得：y’2+6y’－4x’=0, 显然直线AB有斜率且不为0，设直线方程为：mx’+ny’=1， 构造齐次式：y’2+6y’(mx’+ny’)－4x’(mx’+ny’)=0, 整理为：(1+6n)y’2+(6m－4n)x’y’－4mx’2=0 两边同时除以x’2，则(1+6n)()2+(6m－4n)()－4m=0 设新的直角坐标系下A(x1’，y1’)，B(x2’，y2’)，∴韦达定理得+=，=； ∵原来kMA+kMB＝0，即+=0， 则转换到新坐标为：+=0， 即=0，得m=n， ∴直线AB方程为nx’+ny’=1，即y’=－x’+； 在新坐标系下直线AB斜率是定值=－，故在原坐标下斜率也是定值=－，得证。 【备注】 1、 从条件上看，只要是曲线上的点命制题目，有k1+k2＝0，都会得到斜率定值； 2、 从问题上看， ①AB斜率定值，也可以通过求导可得kAB=－kM=－(过M切线斜率) ②另外，也可在此基础上进一步命制问题，比如： “过O做直线2x+3y=0，交MA、MB于C、D两点，求证：|MC|·|MB|=|MD|·|MA|；” ......解决的关键都是先证AB斜率定值； 3、 从方法上看，法1法2常用，法3法4不常用，但都是抓住了斜率和为0这一条件展开； 4、进一步,从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P引两条直线，分别和曲线交于A、B两点： (1)从椭 圆+＝1上，若kPA+kPB=0，则； (2)从双曲线－＝1上，若kPA+kPB=0，则； (3)从抛物线y2＝2px上， 若kPA+kPB=0，则； 举 一 反 三 【训练1】 1．如图，已知点P（2，2）是抛物线C：y2＝2x上一点，过点P作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于A、B两点，直线PA的斜率为k（k＞0）． (1)若直线PA、PB恰好为圆(x﹣2)2+y2＝1的切线，求直线PA的斜率； (2)求证：直线AB的斜率为定值． 【训练2】 2．已知双曲线过点，且离心率 (1)求该双曲线的标准方程： (2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 【训练3】 3．已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作两直线与分别交椭圆于､两点，若直线与的斜率互为相反数，求的最大值. 参 考 答 案 1．(1)依题意，． (2)设A（xA，