圆锥曲线-斜率之倒数-2023届高三数学二轮专题复习讲义

微专题、斜率之倒数 在圆锥曲线的问题中，斜率的综合问题中，除了斜率成等差之外，还有斜率倒数问题，如果取特殊的点线位置，会出现斜率倒数恒等式现象. 对于此问题，我们如果不明白背后现象，只能依据问题，直接强行运算，但也比较费劲。但若了解背后的现象，有助于进一步明白出题的本意，更有方向更快速的解题。 典 型 例 题 【例题】 椭圆为椭圆的上顶点. (1)求的方程； (2)过点 直线的斜率分别为，求的值. 解:(1)的方程为. (2) 法1、直接计算 由题意可设，即， 联立，化简得. 设，则. . 故, . 即. 法2：平移坐标齐次法 建立新的直角坐标系x’Dy’，原方程 , 展开得：2y’2+4y’+=0, 显然直线AB有斜率且不为0，设直线方程为：mx’+ny’=1，A(x1’，y1’)，B(x2’，y2’)， 构造齐次式：2y’2+4y’(mx’+ny’)+=0, 整理为：(2+4n)y’2+4mx’y’+x’2=0 两边同时除以x’2，则(2+4n)()24m()1=0 所以由韦达定理得+，=； 另外直线AB过原坐标系的，即过新坐标系的 所以m+n0=1，即， 证毕. 【备注】 1、 题目的条件和问题都很好理解，从解题的方法看： 法1：解答比较直接，不管问题什么，也无需知道背景，暴力解答，相对来说运算量比较大； 法2：抓住了点在曲线上，问题和斜率相关，抓住平移坐标系并不改变斜率，然后利用齐次化来构造斜率式子，巧妙避开了复杂运算，是处理斜率问题的很好解法；也可以采用整体化构造来书写，但和齐次化大同小异； 2、 我们发现对于的任意直线，都有斜率倒数定值的现象，我们也称之为斜率倒数恒等式。2022年全国乙卷20题也有考到此现象。事实上，对于椭圆的斜率倒数现象，我们有以下的结论： (1)椭圆中，过直线上任意一点做直线交椭圆于，设椭圆的上顶点为，记直线的斜率分别为,则;(反之，若有斜率定值，则有定点现象) (2)椭圆中，过直线上任意一点做直线交椭圆于，设椭圆的上顶点为，记直线的斜率分别为，则;(反之，若有斜率定值，则有定点现象) *3、为什么会有如上现象？其实可以从调和线束来理解以上结论的本质！ Th: 若四点成调和点列，在这四点所在直线外任取一点，所形成的四条射线称为调和线束，对应的方程为，那么. 故我们可分析2(1)：因，斜率 交直线于点,所以和,调和分割即称为调和线束， 故, 注意, ，所以， 即，得证。 *4、更进一步，由上方法，双曲线和抛物线也有类似的结论： (1)双曲线中，过直线上任意一点做直线交双曲线上支于 ，设双曲线的上顶点为，记直线的斜率分别为,则; (反之，若有斜率定值，则有定点现象) (2)双曲线中，过直线上任意一点做直线交双曲线下支于，设双曲线的上定点为，记直线的斜率分别为，则; (反之，若有斜率定值，则有定点现象) (3)抛物线中，过直线上任意一点做直线交抛物线于， 设抛物线的顶点为，记直线的斜率分别为，则; (反之，若有斜率定值，则有定点现象) 备注：我们也可以由调和线束的方法，构造更多斜率倒数的问题，关键之处在于中为0即可！ 举 一 反 三 【训练1】 1．已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程，并求其准线方程； (2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值. 【训练2】 2．已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标. *【训练3】 3．已知点，，，且. (1)求点P的轨迹方程C； (2)若点，过点且斜率为的直线交C于A，B（异于点Q）两点，记直线AQ，BQ的斜率分别为，，证明：存在，满足. (和前文定理不一样，但是是斜率倒数型，也是可以推广的现象) 参 考 答 案 1.【详解】（1）得，解得.得到抛物线的方程为，准线方程为； （2）设，， 由得， ∴，， ， ∴   ,所以的值为. 2.【详解】（1）解：由题意，椭圆的下顶点为，故. 由对称性，椭圆过点，代入椭圆方程有，解得：.故椭圆的标准方程为：. （2）设点坐标为. 当直线斜率存在时，设其方程为，与联立得： . 设，则. ， . 为定值，即与无关，则，此时. 经检验，当直线斜率不存在时也满足，故点坐标为. 3.(1)由题意可得点P的轨迹为双曲线的右支，且，所以， 所以点P的轨迹方程C为. (2)存在，满足，设直线：， 则，消去可得， ，解得， 设，则， 因为点，则 ， 所以存在，满足. 1 学科网（北京）股份有限公司 $