精品解析：陕西省西安市长安区第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学（理科）试题

长安一中2022-2023学年度第一学期期末考试 高二理科数学试题 时间：100分钟 分值：150分 一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数满足，则复数的虚部是（ ） A. －2 B. C. 2 D. 2. 已知空间中不过同一点的三条直线，则“两两相交”是“共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. －4 B. －3 C. 4 D. 3 4. 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知数列的前项和为.若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设经过点直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 8. 若椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 在公差大于的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的前项和为（ ） A B. C. D. 10. 若是函数的一个极值点，则当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 13. 已知函数的定义域为，其导函数是. 有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 14. 关于曲线有下列三个结论： ①曲线C关于y轴对称； ②曲线C关于原点对称； ③曲线C上任意一点的横坐标不大于1； ④曲线C上任意一点到原点的距离不超过. 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分.把答案填写在答题卡相应的位置.） 15. 某区域有大型城市24个，中型城市18个，小型城市12个．为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样方法抽取9个城市进行调查，则应抽取的大型城市个数为________． 16. 已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为__________. 17. 如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为55米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为_________. 18. 我国古代数学名著《九章算术》论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得.类比上述过程，则_____. 19. 已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________． 20. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_____. 三、解答题：(本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 21. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图的频率分布直方图. （1）求直方图中a的值； （2）估计居民月均用水量的中位数； （3）设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由. 22. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为6. （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）设不与轴垂直的直线与点的轨迹交于不同的两点，.若，求证：直线l过定点. 23. 如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，E，F分别是，的中点. （1）记平面与平面的交线为l，试判断直线l与平面的位置关系，并加以证明； （2）设，求二面角大小的取值范围. 24. 已知函数有两个不同的极值点. （1）求的取值范围. （2）求极大值与极小值之和的取值范围. （3）若，则是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说