第11章 课时作业(61) 几何概型（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

课时作业(六十一)　几何概型 [基础保分练] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2023·西藏昌都第一中学月考)在区间[0，1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为(　　) A． B． C． D． D　解析：因为log0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即<x≤1，所以所求概率P＝＝. 2．(2023·湖北模拟)对于二维码，人们并不陌生，几年前，在门票、报纸等印刷品上，这种黑白相间的小方块就已经出现了．二维码背后的趋势是整个世界的互联网化，这一趋势要求信息以更为简单有效的方式从线下流向线上．如图是一个边长为2的“祝你考试成功”正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷200个点，其中落入黑色部分的有125个点，据此可估计黑色部分的面积为(　　) A． B． C． D． B　解析：据题设分析知，所求面积S＝2×2×＝. 3．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到的概率是(　　) A．1－ B． C． D．1－ A　解析：鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到的概率是1－. 4．(2023·赣州期末)如图，正方形的边长为a，以A，C为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　) A．2－ B．2－ C．－1 D．－1 D　解析：如图所示： 阴影部分可拆分为两个小弓形， 则阴影部分面积S′＝2×(πa2－a2)＝πa2－a2， 正方形面积S＝a2, ∴所求概率P＝＝－1. 5．(2023·南昌豫章中学模拟)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x，y)；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数a；最后再根据统计数a估计π的值，那么可以估计π的值约为(　　) A． B． C． D． D　解析：根据题意知，m名同学取m对都小于1的正实数对(x，y)，即， 对应区域为边长为1的正方形，其面积为1， 若两个正实数x，y能与1构成钝角三角形三边，则有 其面积S＝－，则有＝－，解得π＝. 6．(2023·广西玉林第十一中学模拟)如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　　) A． B． C． D． B　解析：因为f(x)＝B点坐标为(1，0)，所以C点坐标为(1，2)，D点坐标为(－2，2)，A点坐标为(－2，0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为×3×1＝，故P＝＝. 7．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y＝，y＝－，y＝x，y＝－x及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________． 答案：　解析：根据图象的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是. 8．如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________． 答案：　解析：设球的半径为R，则所求的概率为 P＝＝＝. 9．(2023·陕西渭南模拟)若在区间[－4，4]内随机取一个数m，在区间[－2，3]内随机取一个数n，则使得方程x2＋2mx－n2＋4＝0有两个不相等的实数根的概率为________． 答案：1－　解析：∵方程x2＋2mx－n2＋4＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即(2m)2－4(－n2＋4)>0，m2＋n2>4，总的事件的集合Ω＝{(m，n)|－4≤m≤4，－2≤n≤3}，∴Ω所表示的平面区域(如图中矩形)的面积S＝8×5＝40，而满足条件的事件的集合是{(m，n)|m2＋n2>4，－4≤m≤4，－2≤n≤3}，∴图中阴影部分的面积S′＝40－π×22＝40－4π，由几何概型的概率计算公式得所求事件的概率P＝＝＝1－. 10．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，y). (1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率； (2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率． 解：(1)设“a∥b”为事件A