第6章 课时作业(35) 高考中的数列问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

课时作业(三十五)　高考中的数列问题 [基础保分练] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为(　　) A．978 B．557 C．467 D．979 A　解析：设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d. ∵cn＝an＋bn，∴解得 ∴cn＝2n－1＋(1－n)， ∴{cn}的前10项和为＋＝978. 2．(2023·山东菏泽期末)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an－1，若an∈(0，2 021)，则称项an为“和谐项”，则数列{an}的所有“和谐项”的和为(　　) A．1 022 B．1 023 C．2 046 D．2047 D　解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，又a1＝S1＝2a1－1，a1＝1，∴{an}是等比数列，公比为2，首项为1，所以an＝2n－1，由an＝2n－1＜2 021得n－1≤10，即n≤11，∴所求和为S＝＝2 047. 3．朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家．朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”．十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是，如果12音阶中第一个音的频率是F，那么第二个音的频率就是F，第三个单的频率就是F，第四个音的频率是F，…，第十二个音的频率是F，第十三个音的频率是F，就是2F.在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为(　　) A．2F B．F C．F D．F D　解析：由题意知，第二个音到第十三个音的频率分别为，显然以上12个数构成了以为公比的等比数列，由等比数列求和公式得 4．(2023·宁夏贺兰景博中学高三模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝－f(x＋1)，数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a51)的值为(　　) A．－1 B．0 C．0 D．2 B　解析：∵f(x)＝－f(x＋1)， ∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， 即f(x)是以2为周期的函数， 而f(x)＝－f(x＋1)，∴f(1)＋f(2)＝0， 又∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0， 而f(x)＝－f(x＋1)，∴f(0)＋f(1)＝0，∴f(1)＝0， 又∵数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，∴an＝n， ∴f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a51) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(51) ＝25[f(1)＋f(2)]＋f(1)＝f(1)＝0. 5．(2023·江西百校联盟联考)已知等差数列{an}中，an＝2n－1，且bn＝an·3n，则数列{bn}的前n项和Tn＝________． 答案：(n－1)·3n＋1＋3　解析：bn＝(2n－1)·3n， 所以Tn＝1×3＋3×32＋…＋(2n－1)·3n， 3Tn＝1×32＋3×33＋…＋(2n－1)·3n＋1. ∴Tn－3Tn＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1 ＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1 ＝3n＋1－6＋(1－2n)·3n＋1 ＝(2－2n)·3n＋1－6， 故Tn＝(n－1)·3n＋1＋3. 6．(2023·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列，且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为____________． 答案：an＝　解析：由题意知2bn＝an＋an＋1， a＝bn·bn＋1， ∴an＋1＝， 当n≥2时，2bn＝＋， ∵bn>0，∴2＝＋， ∴{}成等差数列， 由a1＝1，a2＝3，得b1＝2，b2＝， ∴＝，＝， ∴公差d＝，∴＝，∴bn＝， ∴an＝＝. 7．(2023·江西模拟)已知函数f(x)的图象连续且在(1，＋∞)上单调，又函数y＝f(x＋1)为偶函数，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a8)＝f(a2 014)，则{an}的前2 021项之和为________． 答案：2 021　解析：∵函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，且函数f(x)的图象连续且在(1，＋∞)上单调， ∴y＝f(x)的图象关于x＝1对称， 数列{an}是公差不为0的等差数列且f(a8)＝f(a2 014)，