第3章 课时作业(13) 导数的概念及运算（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

课时作业(十三)　导数的概念及运算 [基础保分练] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数为y＝h(t)＝，当t＝3时，水面下降的速度为(　　) A．－ cm/s B． cm/s C．－ cm/s D． cm/s B　解析：由题意可知h′(t)＝－，则函数h(t)在t＝3时的导数h′(3)＝－，故水面下降的速度为 cm/s. 2.已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) C　解析：f′(2)，f′(3)表示曲线y＝f(x)在点A，B处切线的斜率，又f(3)－f(2)＝表示直线AB的斜率．所以0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2). 3．函数f(x)＝ln (x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为(　　) A．0 B． C． D． D　解析：函数f(x)＝ln (x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为(·2x)x＝1＝1， 设函数f(x)＝ln (x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为θ，则tan θ＝1，∴θ＝. 4．(2023·山西模拟)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l过定点(　　) A．(0，2) B．(1，0) C．(1，a＋1) D．(e，1) A　解析：由f(x)＝ax－ln x＋1⇒f′(x)＝a－， f′(1)＝a－1，f(1)＝a＋1， 故过(1，f(1))处的切线方程为y＝(a－1)(x－1)＋a＋1＝(a－1)x＋2，故l过定点(0，2). 5．(2023·广东佛山月考)已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2的导数为f′(x)，则f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的斜率为(　　) A．－8 B．8 C．12 D．16 B　解析：f′(x)＝3x2－2f′(1)x， 令x＝1，得f′(1)＝3－2f′(1)， 所以f′(1)＝1，所以f′(x)＝3x2－2x， f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的斜率为f′(2)＝8. 6．(2023·吉林长春模拟)设曲线f(x)＝aex＋b和曲线g(x)＝cos ＋c在它们的公共点M(0，2)处有相同的切线，则b＋c－a的值为(　　) A．0 B．π C．－2 D．3 D　解析：∵f′(x)＝aex，g′(x)＝－sin ， ∴f′(0)＝a，g′(0)＝0，∴a＝0， 又M(0，2)为f(x)与g(x)的公共点， ∴f(0)＝b＝2，g(0)＝1＋c＝2，解得c＝1， ∴b＋c－a＝2＋1－0＝3. 7．已知函数f(x)＝x2＋cos x的图象在点(t，f(t))处的切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的大致图象是(　　) A　解析：由题意得f′(x)＝x－sin x，则k＝f′(t)＝t－sin t．由f′(－t)＝－f′(t)可知，f′(t)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；又当t＝时，f′()＝－sin ＝－1<0，排除C.故选A. 8．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　) A．26 B．29 C．215 D．212 D　解析：∵f′(x)＝x′(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a1)′·(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)′＝(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)， ∴f′(0)＝a1·a2·…·a8＝(a1a8)4＝84＝212. 9．已知函数f(x)＝aex＋x2，g(x)＝cos (πx)＋bx，直线l与曲线y＝f(x)相切于点(0，f(0))，且与曲线y＝g(x)相切于点(1，g(1))，则a＋b＝____________，直线l的方程为____________． 答案：－2　x＋y＋1＝0　解析：f′(x)＝aex＋2x， g′(x)＝－πsin (πx)＋b, f(0)＝a，g(1)＝cos π＋b＝b－1， f′(0)＝a，g′(1)＝b，由题意可得f′(0)＝g′(1)， 则a＝b，又f′(0)＝＝a， 即a＝b＝－1，