第3章 课时作业(16) 利用导数证明不等式（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时作业（十六）利用导数证明不等式 [基础保分练] 1.(2023.宁夏贺兰期末)已知函数x)=anx一x2(a∈R) (1)讨论)的单调性； (2)若a=1,证明：x)>1ex-1x一x2 (1)解：由题知x)的定义域为(0，+∞)， f(x)=ax-2x=a-2x2x. 当a≤0时，)0恒成立， 因此)在(0，十∞)上单调递减： 当a>0时，令fx>0,得0<x<a2: 令fx)<0,得x>a2 故x)在(0，a2)上单调递增， 在(a2,+∞)上单调递减 综上所述，当a≤0时，fx)在(0，十∞)上单调递减： 当a>0时，fx)在(0，a2)上单调递增， 在(a2),十∞)上单调递减， (2)证明：当a=1时，(x)=nx-x2, 不等式fx)>lex-lx-x2,即lnx+Ix>lex, 令gr)=nx+ix, g'(x)=Ix-Ix2=x-1x2, 令g'x)=0,得x=1 所以当x∈(0,1)时，g'(x)0,gx)单调递减： 当x∈(1，十∞)时，g'(x>0,gx)单调递增. 所以gx)≥g(1)=1 又当xo0时，lex<1, 所以lnx十Ix>lex,故原不等式得证 2.(2023河北石家庄模拟)已知函数x)=lmax十a(a∈R),曲线y=fx)在点(e,e)》处的 切线方程为y=le (1)求实数a的值，并求x)的单调区间： (2)求证：当0时，w)≤x一1 (1)解：fx)=mx十a, ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ∴f'(x)=x十am(x+a)2,.∴f(e)=ae(e+a)2, 又曲线y=)在点(e,e)处的切线方程为y=le, 则f(e)=0,即a=0, ∴.fx)=1-lnx2, 令fx>0,得1-nx>0,即0<e: 令fx)-0,得1-nx0,即xe, ∴，x)的单调递增区间是(O,e),单调递减区间是(c,+∞) (2)证明：当x0时，要证fx)≤x一1， 即证lnx-x2+x≤0， 令g)=nx-x2+xx>0) 则g'(x)=1x-2x十1=1十x-2x2x =-(x-1)(2+1)x, 当0<1时，g'(x)>0,gx)单调递增： 当x>1时，g'(x0,g)单谓递减， gx)≤g(1)=0,即当x0时，fx)≤x-1. 3.(2023·湖北武汉月考)已知函数x)=x-2alnx一x(a∈R) (1)讨论函数的单调性： (2)若，x2为函数x)的两个极值点，证明：f(x1)一f(2)x1一x2>2-4a (1)解：fx)=x2-2a十1x2,x>0, 令x2-2m+1=0,△=4a2-4, 当d≤0，即一1≤a≤1时，f(x)≥0， x)在(0，+∞)上单调递增： 当4>0，即a>1或a<-1时， ①当a<-1时，-2ax>0,f()>0,fx)在(0，+∞)上单调递增： ②当a>1时，令fx)=0,1=a-a2-1,x2=a十a2-1, x (0) 9 (x2) (x2,+∞) f() + 0 一 0 + fx) 递增 极大值 递减 极小值 递增 综上所述，当a≤1时，fx)在(0，十∞)上单谓递增： 当a>1时，fx)在(0，a-a2-1),(a十a2-1,+∞)上单调递增，在(a-a2-1,a十a2-I) 上单调递减 (2)证明：(1)知，当a>1时)有两个极值点1,2， 且为十2=2a,x龙=1，不妨设x2>1>出>0， ·独家授权侵权必究 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 则f(xl)-f(x2)xl-x2 =11x2x1-x2 =xIx1-x2xIx2x1-x2 =2-xlx2x1-x2. 要证f(xl)一f(x2)x1x2>2-4a,即证xlx2x1-x2<2, 即2 In xlx2<2,.nx2-2+1x2<0, 设g0=lnt-t+1t>1), 由(1)知当a=12时，x)在(0，+∞)上单调递增， g(0=一0，则g(0在(1，+∞)上单调递减， ∴g(0<g(1)=0.原式得证. [技能提分练] 4.(2023·河南郑州模拟以)己知函数x)=xe一x. (1)讨论x)的单调性： (2)证明：当x>0时，w)-nx≥1 (1)解：由题意得fx)=(c+1)e-1, 设gr)=(x+1)e-1,则g(x=(c+2)e, 令g')0,得-2 令g'x)>0,得-2 ∴g)在（一∞，一2）上单调递减，在（一2，十∞）上单调递增. 又g0)=0.当x→-∞时，gx)一→0 ∴当x∈(-∞，0)时，gx)0: 当x(0,+∞)时，gx)