第13章 选修4-4 第1节 坐标系（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

选修4－4　坐标系与参数方程 　 知识梳理 1．伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换． 2．极坐标系的概念 在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图).设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ). 由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0，2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系. 3．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则或 极坐标与直角坐标互化的前提条件：(1)极点与原点重合；(2)极轴与x轴正半轴重合；(3)取相同的长度单位． 4.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且从极轴到此直线的角为α，则它的极坐标方程为ρsin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α). 5．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos (θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 学霸笔记 几种简单曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点， 半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圆心为(a，0)， 半径为r的圆 ρ＝2a cos θ 圆心为， 半径为r的圆 ρ＝2a sin θ 过极点，倾 斜角为α的直线 (1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R). (2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0) 过点(a，0)与极 轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与 极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0＜θ＜π) 进阶诊断 1．判断正误 (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　×　　) (2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　√　　) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　　√　　) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　　×　　) 2．(2022·全国高三专题练)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　) A． B． C．(1，0) D．(1，π) B　解析：由圆ρ＝－2sin θ，则可化为直角坐标系下的方程，ρ2＝－2ρsin θ， ∴x2＋y2＝－2y，即x2＋y2＋2y＝0 ， 圆心坐标为(0，－1)，则极坐标为. 3．(教材习题改编)在极坐标系中，已知点P(2，)，则过点P且平行于极轴的直线方程是(　　) A．ρsin θ＝1 B．ρsin θ＝ C．ρcos θ＝1 D．ρcos θ＝ A　解析：先将极坐标化成直角坐标表示，P(2，)转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，即P的直角坐标为(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1. 4．(求极坐标方程不会结合图形求解致误)在极坐标系中A，B两点间的距离为________． 答案：6　解析：方法一：数形结合　在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6. 方法二　因为A，B的直角坐标为A(1，－)，B(－2，2). 所以|AB|＝＝6. 考点1　极坐标与直角坐标的互化　　　　　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 (2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1. (1)写出⊙C的一个参数方程； (2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养 思路 点拨 (1)直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程； (2)先求得过(4，1)的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可 解：(1)由题意，⊙C 的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1， 所以⊙C 的参数方程为 (α为参数). (2)由题意，⊙C切线的斜率一定存在且不为0，设切线方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0， 由圆心到直线的距离等于1可得＝1， 解得k＝±，所以切线方程为