第6章 专题3 高考中的数列问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

专题三　高考中的数列问题

题型一　等差数列、等比数列基本量的运算

考向1　数列与数学文化

1．(2023·四川泸县模拟)元代数学家朱世杰在“算学启蒙”中提及如下问题：今有银一秤一斤十两，1秤＝10斤，1斤＝10两，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半，若银的数量不变，按此法将银依次分给5个人，则得银最少的3个人一共得银为(　　)

A．两     B．两   

C．两     D．两

C　解析： 一秤一斤十两共120两，将这5人所得银两数量由小到大记为数列{an}，则{an}是公比q＝2的等比数列，于是得S5＝＝＝120，解得a1＝，故得银最少的3个人一共得银数为a1＋a2＋a3＝(1＋2＋22)＝(两).

2．(2022·浙江杭州二模)我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过________次截取．

答案：　11　解析：记第n天后剩余木棍的长度为an，则{an}是首项为，公比为的等比数列，

所以an＝，所以a6＝＝，

由an＝＜得n＞10，

所以n的最小值为11.

所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是尺，要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过11次截取．

3．(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　)

图1

图2

A.0.75         B．0.8         C．0.85         D．0.9

D　解析：如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1.

因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，

所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，

所以CC1＝DC1(k3－0.2)，

BB1＝CB1(k3－0.1)，AA1＝k3BA1，

即CC1＝OD1(k3－0.2)，

BB1＝OD1(k3－0.1)，AA1＝k3OD1.

又＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，

所以AA2＝0.5OD1＋OD1(k3－0.2)＋OD1(k3－0.1)＋k3OD1＝OD1(3k3＋0.2)，

所以tan ∠AOA2＝＝＝0.725，解得k3＝0.9.

对于数学文化中所涉及的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再根据等差或等比数列的有关公式求解作答，必要时要进行检验.

考向2　等差数列、等比数列的交汇

4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{an}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是(　　)

A．          B．          C．－26         D．58

A　解析：设公差不为零的等差数列{an}的公差为d，则有d≠0，因为a2，a8，a12依次成等比数列，a1＝1，