第5章 第4节 数系的扩充与复数的引入（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　

知识梳理

1．复数的有关概念

(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．

(2)复数的分类：

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R).

(5)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R).

(1)虚数不能比较大小；

(2)复数集包含实数集与虚数集．

2．复数的几何意义

复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即

(1)复数z＝a＋bi―→复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)―→平面向量.

复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi).

3．复数的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：

(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

(3)z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

(4)＝＝＝(c＋di≠0).

4．复数运算定律

(1)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

(2)复数乘法的运算定律

复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3．

5．复数加、减法的几何意义

(1)复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．

(2)复数减法的几何意义：复数z1－z2是所对应的复数．

学霸笔记

1．三个易误点

(1)两个虚数不能比较大小．

(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．

(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．

2．复数代数运算中常用的三个结论

在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．

(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.

(2)－b＋ai＝i(a＋bi).

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.

(4)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n.

进阶诊断

1．判断正误

(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　×　　)

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　×　　)

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　×　　)

(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　　√　　)

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　√　　)

2．(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则＝(　　)

A．－1＋i     B．－1－i

C．－＋i     D．－－i

C　解析：＝＝＝－＋i.

3．(教材习题改编)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．