第5章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　

知识梳理

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．

其中，不共线的向量{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．

(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．

(3)如果对于一组基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，

a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝．

(1)向量与坐标之间用等号连接．

(2)点的坐标是在表示点的字母后直接加坐标．

(3)是用B点的横纵坐标减去A点的横纵坐标，既有方向的信息也有大小的信息，其向量位置不确定．

(4)a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.

3．向量共线的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

(1)当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔存在不全为零的x，y∈R，使xa＋yb＝0⇔x1y2－x2y1＝0.

学霸笔记

(1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为(，).

(3)已知△ABC的顶点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为(，).

进阶诊断

1．判断正误

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　×　　)

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　√　　)

(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　　√　　)

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是＝.(　　×　　)

(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　√　　)

2．(2023·四川成都高三期末)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－10)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，3)，e2＝

答案：D

3．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．

答案：　解析：因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，所以λ＝.

4．(教材习题改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．

答案：(1，5)　解析：设D(x，y)，则由＝，得

(4，1)＝(5－x，6－y)，

即解得所以D(1，5).

考点1　平面向量的坐标运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通