第5章 第3节 平面向量的数量积及综合应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　

知识梳理

1．向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．

(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.

(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．

只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角．

2．平面向量的数量积

3.向量数量积的性质及其坐标表示

已知两个非空向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2，e是与b方向相同的单位向量．

向量平行与垂直的坐标公式不要记混．

4．平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律).

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

学霸笔记

1．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.

2．有关向量夹角的两个结论

(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；

(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立).

3．a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然a·b＝0，但不能说a⊥b.

进阶诊断

1．判断正误

(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　√　　)

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　　√　　)

(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　×　　)

(4)(a·b)c＝a(b·c).(　　×　　)

(5)两个向量的夹角的范围是.(　　×　　)

2．(2023·海南临高二中模拟)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是(　　)

A．0·a＝0 B．a·b＝b·c，则a＝c

C．a·b＝0⇒a＝0或b＝0 D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2

答案：D

3．(弄错两个向量的夹角致误)在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则·的值为(　　)

A．20     B．－20   

C．20     D．－20

B　解析：由题意〈，〉＝120°，