第4章 第1节 任意角、弧度制与任意角的三角函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad；②1 rad＝()° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 (1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零． (2)在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． (2)三角函数值的符号 (3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． 学霸笔记 1．终边相同的角不一定相等． 2．“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°<α<90°}，第一象限的角的集合为{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角． 3．终边相同角的集合的表示形式不是唯一的，如{α|α＝2kπ＋，k∈Z}＝{β|β＝2kπ＋，k∈Z}． 4．任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0). 5．一个口诀：三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 6．一个结论：若α∈(0，)，则tan α>α>sin α. 进阶诊断 1．判断正误 (1)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　　√　　) (2)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小有关．(　　×　　) (3)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　×　　) (4)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(　　×　　) 2．(2023·湖南长沙周测)若α是第三象限的角，则π－是(　　) A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角 C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角 B　解析：∵α是第三象限角， ∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z， ∴kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z， ∴－kπ－＜－＜－kπ－，k∈Z， ∴－kπ＋＜π－＜－kπ＋，k∈Z， 故当k为偶数时，π－是第一象限角； 故当k为奇数时，π－是第三象限角． 3．(2023·山东滨州模拟)若角α的终边过点(1，－3)，则sin α＝______，cos α＝________． 答案：－　 4．(教材习题改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度． 答案： 考点1　象限角与终边相同的角　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·河南郑州模拟)给出下列命题： ①终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}； ②终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}； ③第三象限角的集合为； ④在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°. 其中正确的序号是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①④ D　解析：①终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}，故①正确．②终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故②错误； ③第三象限角的集合为，故③错误； ④所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z， 令－720°≤45°＋k·360°<0°(k∈Z)， 解得－≤k<－(k∈Z)， 从而当k＝－2时，β＝－675°； 当k＝－1时，β＝－315°，故④正确． 2．(2023·山东枣庄模拟)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　) A． B． C． D． 答案：D 3．(2023·河南焦作市高三期中)已知角α的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　解析：因为角α的终边与300°角的终边重合，所以α＝300°＋k·360°，k∈Z，所以＝100°＋k·120°，k∈Z， 令k＝0，＝100°，终边位于第二象限， 令k＝1，＝220°，终边位于第三象限， 令