第4章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R). (2)商数关系：tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z). (1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号． (2)商数关系的作用：切化弦，弦切互化． 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α — — 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 学霸笔记 1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α). (2)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (3)sin α＝tan αcos α(α≠＋kπ，k∈Z). (4)sin2α＝＝(α≠＋kπ，k∈Z)； cos2α＝＝(α≠＋kπ，k∈Z). 进阶诊断 1．判断正误 (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　×　　) (2)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　×　　) (3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　×　　) (4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　×　　) 2．(教材习题改编)已知tan α＝2，则的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：原式＝＝＝3. 3．(对诱导公式理解不对致误)已知sin (＋α)＝，则cos (－α)的值等于(　　) A．－ B． C． D．± B　解析：因为＋α与－α互余． 所以cos (－α)＝cos [－(＋α)] ＝sin (＋α)＝. 4．(2023·江苏无锡模拟)化简·sin (α－π)·cos (2π－α)的结果为________． 答案：－sin2α　解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α. 考点1　诱导公式及应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则＝(　　) A． B．－ C． D．－ B　解析：易知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P(2，3)， 故tan α＝， 则 ＝ ＝ ＝－ ＝－＝－. 2．已知cos ＝a，则cos ＋sin (－θ)的值是________． 答案：0　解析：因为cos ＝cos ＝－cos ＝－a， sin ＝sin ＝cos ＝a， 所以cos ＋sin ＝0. 1.利用诱导公式解题的一般思路 （1）化绝对值大的角为锐角． （2）角中含有±\f(π,2)的整数倍时，用公式去掉\f(π,2)的整数倍． 2.常见的互余和互补的角, 提醒：对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角的终边所在的象限，防止三角函数值的符号及三角函数名称出错． 考点2　同角三角函数基本关系的应用　　　　　　　　　　　　　　　　多维贯通 考向1　知弦求切 (2023·福建福州一模)已知3sin α·tan α＋8＝0，α∈，则tan α＝________． 思维导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 3sin α·tan α＋8＝0求余弦值求正弦值求tan α 答案：－2　解析：因为3sin α·tan α＋8＝0，α∈， 所以＋8＝0， 整理可得3cos2α－8cosα－3＝0， 解得cos α＝－或cos α＝3(舍去). 所以sin α＝＝， 所以tanα＝＝－2. 　若本例的条件改为“＝2，α∈”．求tan α的值． 解：因为＝2，α∈， 所以sin α＝2＋2cos α. 两边平方，得sin2α＝4＋8cosα＋4cos2α， 即1－cos2α＝4＋8cosα＋4cos2α， 整理得，5cos2α＋8cosα＋3＝0， 解得cos α＝－1或cos α＝－. 当co