第4章 第5节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin (α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β． (2)cos (α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β． (3)tan (α±β)＝． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反． 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． (3)tan2α＝. 二倍角是相对的，例如，是的二倍角，3α是的二倍角． 学霸笔记 几个常用公式 (1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α. (3)公式变形：tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). (4)常用拆角、拼角技巧：例如， 2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)； α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；＝－； ＋α＝－(－α)等． (5)辅助角公式：a sin x＋b cos x＝·sin (x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝ ． 进阶诊断 1．判断正误 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　√　　) (2)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　√　　) (3)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　×　　) (4)当α是第一象限角时，sin ＝.(　　×　　) (5)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　　√　　) 2．(教材习题改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝(　　) A． B. C． D．1 B　解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin (270°＋77°)cos (90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin (58°＋77°) ＝sin 135°＝. 3．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　) A． B． C． D． D　解析：由题意，cos2－cos2＝cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝. 4．(2023·河北石家庄模拟)已知α是第二象限的角，tan (π＋2α)＝－，则tan α等于(　　) A．－ B．2 C．－ D．－ D　解析：由tan (π＋2α)＝－，得tan 2α＝－， 又tan 2α＝＝－， 解得tanα＝－或tan α＝2， 又α是第二象限角，所以tan α＝－. 第一课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考点1　两角和、差及倍角公式的直接应用　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·重庆七中模拟)已知cos x＝，则sin (2x－)＝(　　) A． B．－ C． D．－ A　解析：sin (2x－)＝－cos 2x＝1－2cos2x＝1－2×()2＝. 2．(2023·湖北黄石模拟)化简＝(　　) A． B． C． D．2 B　解析：原式＝ ＝ ＝＝＝. 3．(2022·辽宁沈阳三模)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”，在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝(　　) A．4 B．＋1 C．2 D．－1 C　解析：由题意，2sin18°＝m＝， 所以m2＝4sin218°， 则＝ ＝＝＝2. 4．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan (θ＋)＝7，则tan θ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 D　解析：由已知得2tan θ－＝7，解得tan θ＝2. 应用三角公式化简求值的策略 (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、