第4章 第5节 第2课时 简单的三角恒等变换（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

第二课时　简单的三角恒等变换 考点1　三角函数的化简　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·安徽合肥模拟)2＋＝(　　) A．2cos 2 B．2sin 2 C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2 B　解析：2＋ ＝2＋ ＝2＋ ＝2|sin2＋cos 2|＋2|cos 2|. ∵<2<π，∴cos 2<0， ∵sin 2＋cos 2＝sin ，0<2＋<π， ∴sin 2＋cos 2>0， ∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2. 2．(2023·浙江丽水月考)已知0<θ<π，则＝_______. 答案：－cos θ　解析：原式 ＝ ＝cos· ＝. 因为0<θ<π， 所以0<<，所以cos >0， 所以原式＝－cos θ. 3．(2023·千阳县中学模拟)化简－2cos 20°所得的结果是________ . 答案：　解析：－2cos 20°＝－2cos 20° ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝. 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． 在三角函数式的化简中“幂降角升”和“幂升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升幂. 考点2　求值问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　多维贯通 考向1　给值求值问题 若cos ＝，π<x<π，则的值为________． 思维导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 cos (＋x)求cos x 和sin x求值 答案：－　解析：∵<x<， ∴<＋x<2π. 又∵cos ＝，∴sin ＝－， ∴cos x＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝－， ∴sin x＝－，tan x＝7. ∴＝ ＝＝－. 1.已知三角函数值，求其他三角函数值的思路 （1）先化简所求式子； （2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）； （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 2.角的变换技巧 （1）2α＝（α＋β）＋（α－β）， （2）α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β， （3） 　(2023·广东深圳月考)已知sin (－α)＝，则cos (2α＋)＝(　　) A．－ B． C．－ D． A　解析：由sin (－α)＝， 可得cos (－2α)＝1－2sin2(－α)＝， 所以cos(2α＋)＝cos [π－(－2α)]＝－cos (－2α)＝－. 　(2023·湖南长郡中学模拟)已知cos ＝，θ∈，则sin ＝________． 答案：　解析：由题意可得cos2＝＝，cos ＝－sin 2θ＝－， 即sin 2θ＝. 因为cos ＝>0，θ∈， 所以0<θ<，2θ∈， 根据同角三角函数基本关系式， 可得cos 2θ＝， 由两角差的正弦公式，可得 sin ＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝×－×＝. 考向2　给值求角问题 (2023·山东临沂模拟)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________． 答案：　　解析：因为cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝. 又因为α，β均为锐角，sinβ＝， 所以sin α＝，cos β＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝×－×＝. 因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α<， 又β为锐角，所以－<2α－β<， 又sin (2α－β)＝，所以2α－β＝. 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)根据条件确定所求角的范围； (2)确定待求角的某种三角函数值，为防止增解，最好选取在上述范围内单调的三角函数； (3)结合三角函数值及角的范围求角． 　已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝(　　) A． B．或－ C．－或 D．－ D　解析：由题意得tan α＋tan β＝－3＜0， tan αtan β＝4＞0， 所以tan (α＋β)＝＝， 且tan α＜0，tan β＜0. 又由α，β∈，得α，β∈， 所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－. 考点3　三角恒等变换的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 已知函数f(x)＝＋2sin x. (1)在△ABC中，cos A＝－，求f(A)的值； (2)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴的方程． 解：(1)因为f(x)＝＋2sin x ＝＋2sin x