第4章 第6节 正弦定理、余弦定理及应用举例（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bc_cos_A； b2＝c2＋a2－2ca_cos_B； c2＝a2＋b2－2ab_cos_C 变形 a＝2R sin A，b＝2R_sin_B，c＝2R_sin_C； sin A＝，sin B＝，sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； a sin B＝b sin A， b sin C＝c sin B， a sin C＝c sin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 2．三角形的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高). (2)S＝bc sin A＝ac_sin_B＝ab_sin_C． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径). 学霸笔记 1．三角形中的边角关系 (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin (A＋B)＝sin C； cos (A＋B)＝－cos C； tan (A＋B)＝－tan C； sin ＝cos ； cos ＝sin . (2)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. (3)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B； b＝a cos C＋c cos A； c＝b cos A＋a cos B. 进阶诊断 1．判断正误 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　×　　) (2)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形.(　　×　　) (3)在△ABC中，＝．(　　√　　) (4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　　√　　) 2．(教材习题改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A． B． C． D． C　解析：因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝π. 3．(解三角形时漏解致误)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则角A为(　　) A．60°或120° B．30°或150° C．60° D．30° A　解析：由正弦定理＝，得sin A＝， 因为a＞b，所以A＝60°或A＝120°. 4．(教材习题改编)在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝________，△ABC的面积＝________. 答案：　　解析：易知c＝ ＝， △ABC的面积等于×2×3×＝. 考点1　利用正弦、余弦定理解三角形　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 D　解析：由余弦定理，得cos 120°＝. 化简得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去). 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________． 答案：　解析：∵b sin A＋a cos B＝0， ∴＝. 由正弦定理＝，得－cos B＝sin B， ∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝. 3．(2021·浙江卷)在△ABC中，B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝__________，cos ∠MAC＝___________． 答案：2　　解析： 由题意作出图形，如图，在△ABM中， 由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2BM·BA·cos B， 即12＝4＋BM2－2BM×2×，解得BM＝4(负值舍去)， 所以BC＝2BM＝2CM＝8， 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝4＋64－2×2×8×＝52，所以AC＝2； 在△AMC中，由余弦定理得cos ∠MAC＝＝＝. （1）正弦定理、余弦定理的一个作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素． (2)正弦定理