第3章 专题1 第1课时 利用导数证明不等式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

专题一　高考中的导数问题 第一课时　利用导数证明不等式 利用导数证明不等式在高考中经常被考查，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等知识相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果. 考点1　移项构造函数证明不等式　　　　　　　　　　　　　　　　　多维贯通 (2023·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a>0时，证明：f(x)≥. (1)解：f′(x)＝－＝(x>0). 当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a>0时，令f′(x)＝0，x＝a.所以当x>a时，f′(x)>0，函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增； 当0<x<a时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，a)上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a>0时， f(x)min＝f(a)＝ln a＋1. 要证f(x)≥，只需证ln a＋1≥， 即证ln a＋－1≥0. 令函数g(a)＝ln a＋－1， 则g′(a)＝－＝(a>0)， 当0<a<1时，g′(a)<0； 当a>1时，g′(a)>0， 所以g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以g(a)min＝g(1)＝0. 所以ln a＋－1≥0恒成立， 所以f(x)≥. 利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法 (1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max. (2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x).若h′(x)>0，则h(x)在(a，b)上单调递增．同时h(a)>0，即f(x)>g(x)或若h′(x)<0，则h(x)在(a，b)上单调递减．同时h(b)>0，即f(x)>g(x). 　已知函数f(x)＝x＋，设函数g(x)＝ln x＋1，证明：当x∈(0，＋∞)且a>0时，f(x)>g(x). 证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝x＋－ln x－1(x>0)，h′(x)＝1－－＝，设p(x)＝x2－x－a＝0，函数p(x)的图象的对称轴为x＝. ∵p(1)＝1－1－a＝－a<0， 设p(x)＝0的正实数根为x0， ∴x0>1，由对称性知，p(x)＝0的另一实数根小于0，h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，h(x)min＝h(x0)＝x0＋－ln x0－1＝x0＋－ln x0－1＝2x0－ln x0－2，令F(x)＝2x－ln x－2(x>1)，F′(x)＝2－＝>0恒成立，所以F(x)在(1，＋∞)上单调递增． 又F(1)＝2－0－2＝0，∵F(x)>0，即h(x)min>0， 故当x∈(0，＋∞)且a>0时，f(x)>g(x). 考点2　分拆函数法证明不等式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 已知函数f(x)＝x ln x－ax. (1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>－成立． 思维导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象等学科素养 思路点拨 (1)给出f(x)的解析式，直接求f(x)在(0，＋∞)上的极值即可； (2)证明ln x＋1>－，由于不等式同时含有对数函数和指数函数，想到两侧分别构造函数求解 (1)解：函数f(x)＝x ln x－ax的定义域为(0，＋∞). 当a＝－1时，f(x)＝x ln x＋x，f′(x)＝ln x＋2， 由f′(x)＝0，得x＝. 当x∈时，f′(x)＜0； 当x∈(，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在上单调递减， 在上单调递增． 因此f(x)在x＝处取得最小值， 即f(x)min＝f＝－， 但f(x)在(0，＋∞)上无最大值． (2)证明：当x>0时，ln x＋1>－等价于x(ln x＋1)>－. 由(1)知当a＝－1时，f(x)＝x ln x＋x的最小值是－，当且仅当x＝时取等号． 设G(x)＝－，x∈(0，＋∞)， 则G′(x)＝，易知G(x)max＝G(1)＝－， 当且仅当x＝1时取到，从而可知对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)>G(x)，即ln x＋1>－. （1）若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标． （2）在证明过程中，等价转化式关键，此处f（x）min≥g（x）max恒成立，从而f（x）≥g（x）恒成立． 　已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. (1)解：f′