第3章 专题1 第2课时 利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

第二课时　利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题 恒成立问题与有解问题是高考数学的重要知识，其中不等式恒成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等知识相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，难度略大． 考点1　分离参数法解不等式恒成立问题　　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 (2023·湖南高三月考)已知函数f(x)＝(ax＋1)ex. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a＝2，当x≥0时，f(x)≥kx，求k的取值范围． 思维导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)先求导函数，然后分析导函数符号只与含参一次因式有关，所以对a分a＞0，a＝0，a＜0三种情况进行讨论； (2)分离参数k，将恒成立问题转为求最值解决 解：(1)因为f(x)＝(ax＋1)ex， 所以f′(x)＝aex＋(ax＋1)ex＝(ax＋a＋1)ex. 若a＝0，则f′(x)>0，f(x)在R上单调递增； 若a＞0，则当x＞时，f′(x)>0； 当x＜时，f′(x)＜0. 故f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(－∞，)； 若a＜0，则当x＞时，f′(x)<0； 当x＜时，f′(x)>0， 故f(x)的单调递减区间为(，＋∞)，单调递增区间为(－∞，). (2)当x＝0时，f(0)＝1≥0恒成立． 当x＞0时，原不等式等价于k≤. 令函数g(x)＝(x＞0)， 则g′(x)＝＝. 当0＜x＜时，g′(x)＜0，g(x)单调递减； 当x＞时，g′(x)＞0，g(x)单调递增． 故g(x)min＝g()＝4. 综上所述，k的取值范围为(－∞，4 ]. 1.分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 2.求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关” 转化关 通过分离参数法，先转化为f（a）≥g（x）（或f（a）≤g（x））对∀x∈D恒成立，再转化为f（a）≥g（x）max（或f（a）≤g（x）min） 求最值关 求函数g（x）在区间D上的最大值（或最小值）问题 　(2023·北京模拟)已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax2＋ax(a∈R). (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝(x－2)ex， f(0)＝(0－2)e0＝－2， f′(x)＝(x－1)ex，k＝f′(0)＝(0－1)e0＝－1， 所以切线方程为y＋2＝－(x－0)， 即x＋y＋2＝0. (2)方法一　当x≥2时，f(x)≥0恒成立，等价于当x≥2时，(x－2)ex－ax2＋ax≥0恒成立． 即a≤(x－2)ex在[2，＋∞)上恒成立. 当x＝2时，0·a≤0，所以a∈R. 当x>2时，x2－x>0， 所以a≤＝恒成立． 设g(x)＝，则g′(x)＝， 因为x>2，所以g′(x)>0， 所以g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增． 所以g(x)>g(2)＝e2，所以a≤e2. 综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]. 方法二　f′(x)＝(x－1)(ex－a)， ①当a≤0时，因为x≥2， 所以x－1>0，ex－a>0，所以f′(x)>0， 则f(x)在[2，＋∞)上单调递增， f(x)≥f(2)＝0成立． ②当0<a≤e2时，f′(x)≥0， 所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)≥f(2)＝0成立． ③当a>e2时，在区间(2，ln a)上，f′(x)<0； 在区间(ln a，＋∞)上，f′(x)>0， 所以f(x)在(2，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，f(x)≥0不恒成立，不符合题意．综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]. 考点2　等价转化法求参数范围　　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 (2023· 江西九江适应性考试)设函数f(x)＝(a∈R). (1)当a＞0时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)当a≤2时，证明：对任意x∈[0，＋∞)，f(x)≤x＋1恒成立． 思维导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)求导→令f′(x)≥0，求解． (2)分a≤0，0＜a≤2讨论，当a≤0时，有条件直接判定；当0＜a≤2时，构造函数h(x)＝－x－1，转化为h(x)≤0恒成立，最终转化为求h(x)的最大值小于等于零 解：(1)∵f′(x)＝，∵a＞0，ex＞0， ∴