第2章 第9节 函数模型及其应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．常见的函数模型 (1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)； (3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)； (4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； (5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)； (6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)； (7)幂函数模型：f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)； (8)“对勾”函数模型：y＝x＋(a>0). 2．指数、对数、幂函数性质比较 　　　函数 性质　　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 3.函数模型的应用 解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行： (1)认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求解模型：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中． 用框图表示如下： 学霸笔记 1．当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型． 2．当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，选用对数函数模型． 3．幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长幅度不同的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快． 4．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性． 进阶诊断 1．判断正误 (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　×　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　×　　) (3)若a>0且a≠1，则不存在x0，使<x<logax0.(　　×　　) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝abx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　×　　) 2．(变化快慢与图象关系不清致误)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　) C　解析：小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D；后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B. 3．(2023·北京西城模拟)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x D　解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意． 考点1　利用函数图象刻画实际问题　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是(　　) B　解析：由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D. 2.(2023·江苏泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，口感最佳．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律为(　　) A．y＝mx2＋n(m>0) B．y＝max＋n(m>0，0<a<1) C．y＝max＋n(m>0，a>1) D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1) B　解析：由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0，0<a<1. 3.汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗1升汽油行