第2章 第6节 对数与对数函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（文科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0；②logaa＝1；③＝N；④logaan＝n(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R). (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0). 3.对数函数的定义、图象与性质 (1)定义：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)指数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 学霸笔记 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2) ＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； (3)logNM＝＝(M >0，N＞0且N≠1). 2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 进阶诊断 1．判断正误 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　×　　) (2)logax·logay＝loga(x＋y).(　　×　　) (3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．(　　×　　) (4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　×　　) (5)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　√　　) 2．(教材习题改编)函数f(x)＝ 的定义域是(　　) A．(0，e) B．(0，e] C．[e，＋∞) D．(e，＋∞) B　解析：要使函数f(x)＝ 有意义，则解得0<x≤e，则函数f(x)的定义域为(0，e]. 3．(2021·新高考卷Ⅱ)若a＝log52，b＝log83，c＝，则(　　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c C　解析：方法一　a＝log52＜log5＝， b＝log83＞log8＝，故a＜c＜b. 方法二　a＝log52＜log42＝，b＝log83＞log93＝，故a＜c＜b. 4．(忽视定义域的限制致误)已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是________． 答案：(1，2)　解析：∵y＝loga(2－ax)是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a＞0，∴u＝2－ax在[0，1]上是x的减函数， 由复合函数关系知y＝logau应为增函数，∴a＞1. ∵当x∈[0，1]时y＝loga(2－ax)有意义，u＝2－ax是减函数， ∴当x＝1时，u＝2－ax取最小值，umin＝2－a＞0， ∴a＜2. 综上可知，所求a的取值范围是(1，2). 考点1　对数运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·甘肃兰州期中)设正数a，b满足2a＝5b＝m，且＋＝1，则m＝(　　) A． B．10 C．20 D．100 B　解析：因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m， 因为a，b＞0，所以m＞1， 所以＋＝logm2＋logm5＝logm10＝1，∴m＝10. 2．(2023·江苏南通期中)经研究发现，某昆虫释放信息素t s后，在距释放处x m的地方测得信息素浓度y满足ln y＝－ln t－x2＋A，其中A，k为非零常数．已知释放1 s后，在距释放处2 m的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4 s后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为(　　) A． m B． m C．2 m D．4 m D　解析：由题意可知，当t＝1，x＝2，y＝a时