第12章 课时作业(七十三) 数学归纳法（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

课时作业(七十三)　数学归纳法 [基础保分练] 1．(2023·山西古县第一中学期中)用数学归纳法证明 ＋＋…＋>1(n∈N*)，在验证n＝1时，左边的代数式为(　　) A．＋＋ B．＋ C． D．1 A　解析：＋＋…＋代入n＝1为＋＋. 2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C． D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 D　解析：观察可知，等式的左端是n2个连续自然数的和，当n＝k时为1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.即加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 3．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 C　解析：边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的(n＋1－2)个顶点连接成对角线，因此，对角线增加(n－1)条． 4．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　) A．a1＋(k－1)d B． C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d C　解析：假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d. 5．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： ①当n＝1时，<1＋1，不等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，不等式<k＋1成立，当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1. ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 D　解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法． 6．(2023·西藏拉萨模拟)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为________． 答案：f(2n)>(n≥2，n∈N*)　解析：观察规律可知f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，…，故得一般结论为f(2n)>(n≥2，n∈N*). 7．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋<n(n∈N*)”时，由假设n＝k(k>1，k∈N*)不等式成立，推证n＝k＋1不等式成立时，不等式左边应增加的项数为________． 答案：2k　解析：在用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋<n(n∈N*)”时， 假设当n＝k时不等式成立，左边＝1＋＋＋…＋， 则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋， 则由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了＋＋…＋， 共2k＋1－1－(2k－1)＝2k(项). 8．已知函数f(x)满足f(log3x)＝x－log3x2. (1)求函数f(x)的解析式； (2)当n∈N*时，试比较f(n)与n3的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 解：(1)由题意，得x＞0.令t＝log3x，则x＝3t＞0，所以f(t)＝3t－2t， 故函数f(x)的解析式为f(x)＝3x－2x，x＞0. (2)当n＝1时，f(n)＝1，n3＝1，此时f(n)＝n3； 当n＝2时，f(n)＝5，n3＝8，此时f(n)＜n3； 当n＝3时，f(n)＝21，n3＝27，此时f(n)＜n3； 当n＝4时，f(n)＝73，n3＝64，此时f(n)＞n3， 猜想：当n≥4，n∈N*时，都有f(n)＞n3. 证明：①当n＝4时，显然猜想成立； ②假设当n＝k(k≥4，n∈N*)时，猜想成立，即3k＞k3＋2k. 当n＝k＋1时，3k＋1＝3·3k＞3·(k3＋2k)＝3k3＋6k， 又因为当k≥4时，(3k3＋6k)－[(k＋1)3＋2(k＋1)]＝2k3－3k2＋k－3＝k·2k2－3k2＋k－3≥4·2k2－3k2＋k－3＝5k2＋k－3＞0， 故3k3＋6k＞(k＋1)3＋2(k＋1)， 所以n＝k＋1时，3k＋1＞3k3＋6k＞(k＋1)3＋2(k＋1)，结论成立． 由①②可知，当n≥4，n∈N*时，都有f(n)＞n3. 综上，当n≤3，n∈N*时，f(n)≤n3；当n≥4，n∈N*时， f(n)＞n3. 9．已知函数f1(x)＝sin ，x∈R，记fn＋1(x)为fn(x)的导数，n∈N*. (1)求f2(x)，f3(x)； (2)猜想fn(x)，n∈N*的表达式，并证明你的猜想． 解：(1)f1(x)＝sin ，f2(x)＝cos ， f3(x)＝－sin . (2)猜想：fn