第12章 课时作业(七十二) 直接证明与间接证明（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　直接证明与间接证明 [基础保分练] 1．(2023·西藏拉萨模拟)用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　) A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° B　解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，故可以理解为都大于60°. 2．已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是(　　) A．a>b B．a<b C．a＝b D．a，b大小不定 B　解析：∵a＝－＝， b＝－＝ . 而＋>＋＞0(m＞1)， ∴<，即a<b. 3．用反证法证明命题“若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，z∈Z)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时．下列假设正确的是(　　) A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c最多有一个是偶数 D．假设a，b，c最多有两个是偶数 B　解析：a，b，c中存在偶数，反面就是a，b，c中没有偶数，即都不是偶数． 4．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是(　　) A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确；②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确 D　解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①的假设不正确；对于②，其假设正确． 5．“角谷猜想”最早流传于美国，不久传到欧洲，后来日本数学家角谷把它带到亚洲．该猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，经过有限步演算，最终都能得到1.若正整数n经过5步演算得到1，则n的取值不可能是(　　) A．32 B．16 C．5 D．4 B　解析： 利用分析法可得：由第5次计算后得1，可得第4次计算后的得数一定是2， 由第4次计算后得2，可得第3次计算后的得数一定是4，由第3次计算后得4，可得第2次计算后的得数是1或8，若由第2次计算后得8，可得第1次计算后的得数一定是16， 由第1次计算后得16，可得原数是5或32；若由第2次计算后得1，可得第1次计算后的得数一定是2，由第1次计算后得2，可得原数是4.综上可知，原数可能为5或32 或4. 6.＋与2＋的大小关系为________． 答案：＋>2＋　解析：要比较＋与2＋的大小， 只需比较(＋)2与(2＋)2的大小， 只需比较6＋7＋2与8＋5＋4的大小， 只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小， ∵42>40，∴＋>2＋. 7．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件是________．(填序号) 答案：①③④　解析：要使＋≥2，只需>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立． 8．已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，用分析法求证：ba>ab. 证明：因为a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，只需证a ln b>b ln a，只需证>. 取函数f(x)＝，因为f′(x)＝，所以当x>e时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减．所以当a>b>e时，有f(b)>f(a)，即>.得证． 9．已知数列{an}各项均为正数，且不是常数列． (1)若数列{an}是等差数列，求证：＋<2； (2)若数列{an}是等比数列，求证：1－an，1－an＋1，1－an＋2不可能成等比数列． 证明：(1)要证＋<2， 只要证a1＋a3＋2<4a2， 因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2， 只要证 <a2，只要证a1a3<a＝()2， 因为数列{an}各项均为正数，且不是常数列， 所以a1a3<a＝()2成立， 所以＋<2. (2)假设1－an，1－an＋1，1－an＋2可能成等比数列， 则(1－an＋1)2＝(1－an)(1－an＋2)，即1－2an＋1＋a＝1＋anan＋2－(an＋an＋2)， 因为数列{an}是等比数列，所以a＝anan＋2，所以2an＋1＝an＋an＋2， 所以数列{an}是等差数列，所以数列{an}是常数列，这与已知相矛盾，故假设不成立，所以1－an，1－an＋1，1－an＋2不可能成等比数列． 10．已知数列{an}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，a2＝2. (1)若S5＝16，a4＝a5，求a10； (