第13章 课时作业(七十五) 坐标系（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　坐标系 [基础保分练] 1．(2023·广西桂林模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程； (2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋. 解：(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1， 整理得x2＋y2－4x－4y＋7＝0， 转换为极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0. 由于直线C2过原点，且倾斜角为， 故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R). (2)由 得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0， 设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2， 则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7， ∴＋＝ ＝＝. 2．(2023·山西朔州市模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)直接写出圆C的普通方程； (2)直线l的极坐标方程为2ρsin ＝5，射线OM：θ＝(ρ≥0)与圆C的交点为O，P两点，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长． 解：(1)因为圆C的参数方程为(φ为参数)，所以圆心C的坐标为(0，2)，半径为2.圆C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4. (2)圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ. 设P，Q则，解得ρ1＝2，ρ2＝5，解得|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝3. 3．(2023·吉林长春模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(sin θ＋cos θ)＝. (1)求C的极坐标方程； (2)射线OM：θ＝θ1与圆C的交点为O，P与直线l的交点为Q，求|OP||OQ|的范围． 解：(1)圆C的普通方程是(x－2)2＋y2＝4，将x＝ρcos θ， y＝ρsin θ，代入上述方程， 得(ρcos θ－2)2＋(ρsin θ)2＝4, 由ρ2＝x2＋y2，化简得圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (2)设P(ρ1，θ1)，则有ρ1＝4cos θ1, 设Q(ρ2，θ1)，且直线l的方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝，则有ρ2＝， 所以|OP||OQ|＝ρ1ρ2＝ ＝， 所以2≤|OP||OQ|≤3. 即|OP||OQ|的范围为[2，3]. [技能提分练] 4．(2023·沙坪坝重庆八中模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为(t为参数，t＞0)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l1：θ＝α(ρ∈R，0＜α＜π，且α≠)与曲线E的交点为A，B，直线l2：θ＝α＋(ρ∈R)与曲线E的交点为C，D. (1)求曲线E的普通方程； (2)证明：＋为定值． (1)解：由(t为参数，t＞0)得x2＝y＋2， 即曲线E的直角坐标方程为y＝x2－2. (2)证明：曲线E的极坐标方程为 ρ2cos2θ－ρsinθ－2＝0， 由得ρ2cos2α－ρsinα－2＝0，|ρAρB|＝， 同理可得|ρCρD|＝＝， 所以＋＝＋＝为定值． 5．(2023·河南鹤壁高考模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝－t y＝2＋t(t为参数)，曲线C2的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C1，C2的极坐标方程； (2)已知射线l：θ＝α分别交曲线C1，C2于M，N两点，若N是线段OM的中点，求α的值． 解：(1)因为曲线C1的普通方程为x＋y－2＝0， 所以曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0 (写成ρsin ＝1也可). 因为曲线C2的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0， 所以曲线C2的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ. (2)设M(ρ1，α)，N(ρ2，α)，则ρ1＝，ρ2＝2sin α， 因为N是线段OM的中点，所以ρ1＝2ρ2， 即＝4sin α，整理得2sin α(cos α＋sin α)＝1，所以tan 2α＝， 因为＜α＜π，所以π＜2α＜2π，所以2α＝，所以α＝. [素养拉分练] 6．(2023·江西鹰潭模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x＋)2＋(y＋1)2＝4.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2，C3的极坐标方程分别为ρ＝2sin θ，ρ＝2cos (θ＋). (1)若曲线C2，C3相交于异于极点的点Q，求点Q的直角坐标； (2)若直线l：θ＝α(ρ∈R)与C1，C2相交于异于极点的A，B两点，求|AB|的最大值． 解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 将代入，可得C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y； 由