第13章 课时作业(七十七) 绝对值不等式（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　绝对值不等式 [基础保分练] 1．(2023·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)＝|a－x|＋|x＋1|(a∈R). (1)当a＝6时，解不等式f(x)≥9； (2)若f(x)－2a2≥0对任意x∈R成立，求实数a的最大值． 解：(1)当a＝6时，f(x)＝|6－x|＋|x＋1|＝|x－6|＋|x＋1|， 此时不等式f(x)≥9为|x－6|＋|x＋1|≥9， ∴或 或 解得x≥7或x≤－2， 即所求不等式解集为(－∞，－2]∪[7，＋∞). (2)∵|a－x|＋|x＋1|≥|a－x＋x＋1|，∴|a－x|＋|x＋1|≥|a＋1|， 又f(x)－2a2≥0对任意x∈R成立，∴|a＋1|≥2a2， ∴－≤a≤1， ∴所求实数a的最大值为1. 2．(2023·广西南宁三中期末)已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋a|. (1)若a＝1，求不等式f(x)≤4x的解集； (2)若“∀x∈R，f(x)＞|2a－3|”为假命题，求a的取值范围． 解：(1)由题意，当a＝1时，函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|， 当x≤－1时，原不等式可化为－2x＋1≤4x，此时不等式的解集为空集； 当－1＜x＜2时，原不等式可化为3≤4x，即x≥，此时不等式的解集为； 当x≥2时，原不等式可化为2x－1≤4x，即x≥－，此时不等式的解集为[2，＋∞)， 综上可得，不等式的解集为. (2)由f(x)＝|x－2|＋|x＋a|≥|(x－2)－(x＋a)|＝|a＋2|， 要使得|a＋2|＞|2a－3|，即|a＋2|2＞|2a－3|2， 整理得3a2－16a＋5＝(a－5)(3a－1)＜0，解得＜a＜5， 又因为“∀x∈R，f(x)＞|2a－3|”为假命题， 所以实数a的取值范围∪[5，＋∞). 3．(2023·河南模拟)已知函数f(x)＝|2x－3|＋ax＋4(x∈R，a∈R). (1)若a＝－1，求不等式f(x)≤6的解集； (2)若函数f(x)有最小值，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，有|2x－3|－x＋4≤6. 当x≥时，2x－3－x＋4≤6，解得x≤5，所以≤x≤5； 当x＜时，3－2x－x＋4≤6，解得x≥，所以≤x＜. 综上，所求不等式的解集为. (2)f(x)＝|2x－3|＋ax＋4＝ 又函数f(x)有最小值，所以 所以－2≤a≤2，即所求实数a的取值范围是[－2，2]. [技能提分练] 4．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x|＋a. (1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若方程f(x)＝x有三个不同的解，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝|x＋1|－|x| ＝ 所以当x<－1时，f(x)＝－1<0，不符合题意； 当－1≤x<0时，f(x)＝2x＋1≥0， 解得－≤x<0； 当x≥0时，f(x)＝1>0，符合题意． 综上可得f(x)≥0的解集为. (2)设u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的图象和y＝x的图象如图所示． 易知y＝u(x)的图象向下平移1个单位长度内(不包括1个单位长度)，与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1<a<0. 所以实数a的取值范围为(－1，0). 5．(2023·河南郑州模拟)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋1. (1)当a＝2时，解不等式f(x)＋x<2； (2)若存在a∈，使得不等式f(x)≥b＋|2x＋a2|的解集非空，求b的取值范围． 解：(1)当a＝2时，函数f(x)＝|2x＋2|＋1， 解不等式f(x)＋x<2化为|2x＋2|＋1＋x<2， 即|2x＋2|<1－x， 当1－x≤0时，即x≥1时，该不等式无解； 当1－x＞0时，不等式化为x－1<2x＋2<1－x， 解得－3<x<－， ∴不等式的解集为. (2)由f(x)≥b＋|2x＋a2|， 得b≤|2x＋a|－|2x＋a2|＋1， 设g(x)＝|2x＋a|－|2x＋a2|＋1， 则不等式的解集非空，即不等式有解，等价于b≤g(x)max， 由g(x)≤|(2x＋a)－(2x＋a2)|＋1 ＝|a2－a|＋1， ∴b≤|a2－a|＋1. 由题意知存在a∈，使得上式成立， 而函数h(a)＝|a2－a|＋1在a∈上的最大值为h＝， ∴b≤， 即b的取值范围是. [素养拉分练] 6．(2022·四川眉山仁寿一中月考)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x2－b2|，其中a，b，x∈R. (1)当a＝b＝1时，求函数y＝f(x)的零点； (2)若a＝1，b＝0，当x≤1时，关于x的方程f(|2x－1|)－(3k＋1)(|2x－1|－1)＋k＝0有3个不同的实数解，求实数k的值及该方程的解； (3)若对任意x∈[0，1]，都有f(x)≤a＋b2恒成立，求实数a＋b2的最小值． 解：(1)当a＝b＝1时，y＝f(x)＝|