第13章 课时作业(七十六) 参数方程（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　参数方程 [基础保分练] 1．(2023·陕西汉中市月考)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为(其中参数θ∈R). (1)以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程； (2)直线l的参数方程为 (其中参数t∈R，α是常数)，直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的斜率． 解：(1)∵(其中θ∈R) ∴C 的普通方程为(x－3)2＋y2＝5. ∴C的极坐标方程ρ2－6ρcos θ＋4＝0. (2)∵(其中参数t∈R，α是常数)， ∴直线l的普通方程为y＝k(x－1)， 由(1)知：圆心C(3，0)，r＝，|AB|＝2，∴d＝ . ∴＝，∴k＝±1. 2．(2020·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点． (1)求|AB|； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程． 解：(1)令x＝0，则t2＋t－2＝0，解得t＝－2或t＝1(舍去)，则y＝2＋6＋4＝12，即A(0，12). 令y＝0，则t2－3t＋2＝0，解得t＝2或t＝1(舍去)，则x＝2－2－4＝－4，即B(－4，0). ∴|AB|＝＝4. (2)由(1)可知kAB＝＝3， 则直线AB的方程为y＝3(x＋4)，即3x－y＋12＝0. 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得， 直线AB的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＋12＝0. 3．(2023·云南曲靖模拟)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为C(，)，半径r＝. (1)求圆C的极坐标方程； (2)已知过点P(0，1)且倾斜角为α的直线l交圆C于A，B两点，且|PA|＋|PB|＝，求角α. 解：(1)圆心C(，)的直角坐标为C(1，1)，圆C的半径r＝， 则圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3. 将公式代入(x－1)2＋(y－1)2＝3中， 整理得圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0. (2)过点P(0，1)且倾斜角为α的直线l的参数方程为(t是参数)， 代入圆C的直角坐标方程(x－1)2＋(y－1)2＝3中整理得t2－2t cos α－2＝0. 设交点A，B对应的参数分别为t1，t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝2cos α，t1t2＝－2<0， 则|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝， 平方得(t1＋t2)2－4t1t2＝11， 则4cos2α＋8＝11， 所以cosα＝±(0≤α<π)，所以α＝或α＝. [技能提分练] 4．(2023·赣州市赣县第三中学模拟)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0，以极点O为原点，以极轴为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，已知M点的坐标为(0，2)，直线l的参数方程为(t为参数)，且与曲线C交于A，B两点． (1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； (2)求|MA|·|MB|的值． 解：(1)由题意，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0，则ρ2sin2θ－4ρcosθ＝0, 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，可得y2－4x＝0， 即曲线C的直角坐标方程y2＝4x， 由直线l的参数方程为(t为参数)，消去参数， 可得直线l的普通方程为y＝－x＋2. (2)将直线l的参数方程为(t为参数)代入y2＝4x， 可得t2＋8t＋8＝0，其中Δ＝(8)2－4×8＞0， 设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝8， 又由直线l过点M，根据直线参数方程中参数t的几何意义， 可得|MA|·|MB|＝|t1||t2|＝|t1·t2|＝8. 5．(2020·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝coskt， y＝sinkt(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0. (1)当k＝1时，C1是什么曲线？ (2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标． 解：(1)当k＝1时，曲线C1的参数方程为(t为参数)， 两式平方相加得x2＋y2＝1， 所以曲线C1表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆． (2)当k＝4时，曲线C1的参数方程为x＝cos4t y＝sin4t(t为参数), 所以x≥0，y≥0，曲线C1的参数方程化为＝cos2t ＝sin2t(t为参数)， 两式相加得曲线C1方程为＋＝1， 得＝1－，平方得y＝x－2＋1，0≤x≤1，0≤y≤1， 曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0， 曲线C2直角坐标方程为4x－16y＋3＝0，