第13章 课时作业(七十八) 不等式的证明（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　不等式的证明 [基础保分练] 1．(2023·宁夏银川模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－2|，集合A＝{x|f(x)<3}． (1)求集合A； (2)若实数s，t∈A，求证：<. (1)解：函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－2| ＝ 首先画出y＝f(x)与y＝3的图象如图所示． 可得不等式f(x)<3的解集A＝. (2)证明：因为实数s，t∈A，所以s，t∈. 所以－＝1＋－t2－＝(1－t2)·(s2－1)<0， 所以<，所以<. 2．若a>0，b>0，且＋＝. (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由． 解：(1)由＝＋≥， 得ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立． 故a3＋b3≥2≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立． 所以a3＋b3的最小值为4. (2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4. 因为4>6，则不存在a，b，使得2a＋3b＝6. 3．(2023·湖南长沙长郡中学调研)已知函数f(x)＝|x＋2|. (1)解不等式f(x)>4－|x＋1|； (2)已知a＋b＝2(a>0，b>0)，求证：|x－2.5|－f(x)≤＋. 解：(1)f(x)>4－|x＋1|，即|x＋2|＋|x＋1|>4， 则得x<－3.5； 无解； 得x>0.5. 所以原不等式的解集为{x|x<－3.5或x>0.5}． (2)证明：|x－2.5|－f(x)＝|x－2.5|－|x＋2|≤4.5， ＋＝(a＋b)＝≥(5＋4)＝4.5，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， 所以|x－2.5|－f(x)≤＋. [技能提分练] 4．已知函数f(x)＝|x|＋|x－1|. (1)若f(x)≥|m－1|恒成立，求实数m的最大值M； (2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab. (1)解：由已知可得 f(x)＝ 则f(x)min＝1， 令|m－1|≤1，解得－1≤m－1≤1， 即0≤m≤2，∴实数m的最大值M＝2. (2)证明：方法一(综合法) ∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤1， ∴≤1，当且仅当a＝b时取等号．① 又∵≤， ∴≤， ∴≤，当且仅当a＝b时取等号，② 由①②得≤，∴a＋b≥2ab. 方法二(分析法) ∵a>0，b>0， ∴要证a＋b≥2ab， 只需证(a＋b)2≥4a2b2， 即证a2＋b2＋2ab≥4a2b2， ∵a2＋b2＝2， ∴只要证2＋2ab≥4a2b2， 即证2(ab)2－ab－1≤0， 即证(2ab＋1)(ab－1)≤0. ∵2ab＋1>0，∴只需证ab≤1， 下证ab≤1. ∵2＝a2＋b2≥2ab，∴ab≤1成立， ∴a＋b≥2ab. 5．(2023·云南高三模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)求不等式f(x)≤8的解集M； (2)若m为M中的最大元素，正数a，b满足＋＝m，证明：＋a＋b≥4. (1)解：f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝， 由得－4≤x＜－1；由得－1≤x＜1；由得1≤x≤4， 综上所述，不等式f(x)≤8的解集M＝{x|－4≤x≤4}． (2)证明：∵m为M中的最大元素，∴＋＝m＝4，∴4ab＝2a＋b， ＋a＋b＝＋＝＋≥2＝4(当且仅当b＝2＋，a＝或b＝2－，a＝时等号成立)，即＋a＋b≥4. [素养拉分练] 6．(2023·河南省天一大联考“顶尖计划”联考)已知x，y，z均为正数． (1)若xy＜1，证明：|x＋z|·|y＋z|＞4xyz； (2)若＝，求2xy·2yz·2xz的最小值． (1)证明：∵x，y，z均为正数， ∴|x＋z|·|y＋z|＝(x＋z)(y＋z)≥2·2＝4z， 当且仅当x＝y＝z时取等号． 又∵0＜xy＜1，∴4z＞4xyz， ∴|x＋z|·|y＋z|＞4xyz. (2)解：∵＝，即＋＋＝3. ∵yz＋≥2＝2，xz＋≥2＝2， xy＋≥2＝2，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号， ∴xy＋yz＋xz＋＋＋≥6， ∴xy＋yz＋xz≥3，∴2xy·2yz·2xz＝2xy＋yz＋xz≥8， ∴2xy·2yz·2xz的最小值为8. 学科网（北京）股份有限公司 $