第6章 课时作业(三十三) 等比数列及其前n项和（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

课时作业(三十三)　等比数列及其前n项和 [基础保分练] 1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，a3＝5，则公比q的值为(　　) A．－ B．1 C．－或1 D．或1 C　解析：由题设知S3＝a1＋a2＋a3＝15， 又a3＝5，故a1＋a2＝10，∴a1(1＋q)＝10， 而a1q2＝5，即1＋q＝2q2，解得q＝－或q＝1. 2．(2023·河南郑州模拟)已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为(　　) A．2 B．4 C． D．6 B　解析：根据等比数列的性质得a3a5＝a， ∴a＝4(a4－1)，即(a4－2)2＝0，解得a4＝2. 又∵a1＝1，a1a7＝a＝4，∴a7＝4. 3．(2023·河南开封模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为(　　) A． B．－ C． D．－ B　解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋r，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－2×＝·32n－2.当n＝1时满足通项公式an＝·9n－1.即3＋r＝，r＝－. 4．(2023·广东深圳外国语学校月考)设Sn是等比数列{an}的前n项和，已知S3＋S6＝0，则＝(　　) A．－512 B．－8 C．－2 D．－1 B　解析：设{an}的公比为q(q≠0)， 由已知q≠1，因为S3＋S6＝0， 所以＋＝0，解得q3＝－2， 所以＝＝q9＝(q3)3＝－8. 5．有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为(　　) A．35 B．75 C．155 D．315 C　解析：由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，所以a1＝5，q＝2，因此前5天所屠肉的总两数为＝＝155. 6．(2023·陕西西北工业大学附属中学模拟)已知等比数列{an}的公比q≠1，向量m＝(a1，a2)，n＝(a3，a4)，则(　　) A．m⊥n B．m∥n C．(m＋n)·(m－n)＝0　 D．|m|＝|n| B　解析：对于A，m·n＝a1a3＋a2a4＝aq2＋aq4＝aq2(1＋q2)>0，A错误； 对于B，∵a1a4＝a2a3，∴a1a4－a2a3＝0，∴m∥n，B正确； 对于C，D，由(m＋n)·(m－n)＝0得m2＝n2，即|m|＝|n|， 又|m|2＝a＋a＝a＋aq2＝a(1＋q2)，|n|2＝a＋a＝a＋aq2＝a(1＋q2)， ∴当a≠a，即q≠±1时，|m|≠|n|，C，D错误． 7．(2023·山东青岛模拟)已知{an}是等比数列，且a3a5a7a9a11＝243，则a7＝________；若公比q＝，则a4＝________． 答案：3　81　解析：由{an}是等比数列， 得a3a5a7a9a11＝a＝243， 故a7＝3，a4＝＝81. 8．各项均为正数的等比数列{an}，其公比q≠1，且a3a7＝4，请写出一个符合条件的通项公式an＝________． 答案：2n－4(只要{an}为正项等比数列(不为常数列)且a5＝2即可)　解析：因为{an}为正项等比数列，所以a3a7＝a＝4，所以a5＝2，又q≠1，不妨令q＝2，所以an＝a1qn－1＝a5qn－5＝2×2n－5＝2n－4. 9．(2021·江苏扬州中学月考)已知等差数列{an}满足：a1＋3，a3，a4成等差数列，且a1，a3，a8成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)在任意相邻两项ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前200项和T200. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由题意得a1＋3＋a4＝2a3， 即2a1＋3＋3d＝2a1＋4d，解得d＝3， 又a1a8＝a，即a1(a1＋7×3)＝(a1＋2×3)2，解得a1＝4，所以an＝3n＋1. (2)在新数列{bn}中，ak＋1前面(包括ak＋1)共有2＋22＋23＋…＋2k＋(k＋1)＝2k＋1＋k－1项， 令2k＋1＋k－1≤200，(k＝1，2，…)，则k≤6， 所以a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7出现在新数列{bn}的前200项中， 当k＝6时，2k＋1＋k－1＝133， 所以a7前面(包括a7)共有133项，所以a7后面(不包括a7)还有67个2. 所以T200＝(4＋7＋…＋22)＋2(2＋22＋23＋…＋