第6章 课时作业(三十一) 数列的概念与简单表示法（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

课时作业(三十一)　数列的概念与简单表示法 [基础保分练] 1．(2023·重庆模拟)数列{an}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项公式可能是(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ A　解析：数列为，，，，，…，此数列是以为首项，以为公差的等差数列，故数列{an}的通项公式为an＝. 2．(2023·山东烟台模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　) A． B． C． D． D　解析：a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝， a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝. 3．(2023·广东东莞月考)在数列{an}中，a1＝且(n＋2)·an＋1＝nan，则它的前30项和S30＝(　　) A． B． C． D． A　解析：∵(n＋2)an＋1＝nan，∴＝， ∴an＝a1···…· ＝×××…× ＝＝－， 因此S30＝1－＋－＋…＋－＝. 4．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 020这2 020个数中，能被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a20＝(　　) A．181 B．191 C．201 D．211 B　解析：由题意可知an－1既是2的倍数，也是5的倍数，即an－1是10的倍数， 则an－1＝10(n－1)(n∈N*)， 故a20＝10×(20－1)＋1＝191. 5．(2023·广东梅州月考)数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项的积为Tn，则T2 020＝(　　) A．1 B．－6 C．2 D．3 A　解析：∵an＝，∴an＋1＝， ∵a1＝2，∴a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝，a5＝＝＝2，…， 数列{an}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4＝1， ∵2 020＝505×4，∴T2 020＝T4＝1. 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－n，则a4＝__________． 答案：13　解析：由题可知Sn＝2n2－n，则a4＝S4－S3＝(2×42－4)－(2×32－3)＝13. 7．(2023·山东临沂模拟)已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________. 答案：(－3，＋∞)　解析：因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1>an， 即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn， 整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1).(*) 因为n∈N*，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 8．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2， 解得a2＝3a1＝3， 由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 解得a3＝(a1＋a2)＝6. (2)由题设知当n＝1时，a1＝1. 当n≥2时，有 an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理得an＝an－1， 于是a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2， an＝an－1， 将以上n－1个等式中等号两端分别相乘，整理得an＝. 当n＝1时，a1＝1满足an＝. 综上可知，{an}的通项公式为an＝. 9．(2023·江苏淮安调研)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且an＋2－2an＋1＋an＝4，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，n∈N*，求bn的最小值． 解：(1)令cn＝an＋1－an，则cn＋1－cn＝4，而c1＝a2－a1＝2， ∴{cn}是首项为2，公差为4的等差数列， 即cn＝2＋4(n－1)＝4n－2， ∴c1＋c2＋…＋cn－1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－an－1＝an－a1＝an－1， 又c1＋c2＋…＋cn－1＝4(1＋2＋…＋n－1)－2(n－1) ＝2n(n－1)－2n＝2n2－4n＋2， ∴an＝2n2－4n＋3. (2)由题设，bn＝＝2n＋－4，n∈N*， ∴bn≥2－4＝2－4，当且仅当n＝∈(1，2)时等号成立， 故bn＞2－4且在n≥2上单调递增， 又b1＝1＜b2＝，∴当n＝1时，bn的最小值b1＝1. [技能提分练] 10．(2023·江苏泰兴月考)已知数列{an}满足an＝且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．