第5章 课时作业(二十九) 平面向量的数量积及综合应用（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

课时作业(二十九)　平面向量的数量积及综合应用 [基础保分练] 1．(2023·重庆八中月考)已知向量a＝(－1, 4)，b＝(2, m)，若a⊥b，则a－2b＝(　　) A．(－5，20) B．(－5，－12) C．(－5，5) D．(－5，3) D　解析：由已知得a·b＝－2＋4m＝0，所以m＝，从而a－2b＝(－5，3). 2．(2023·四川乐山第一中学模拟)已知向量a＝(2，－2)，b＝(2，1)，b∥c，a·c＝4，则|c|等于(　　) A．2 B．4 C．5 D．4 A　解析：因为b∥c， 所以c＝λb＝(2λ，λ)(λ∈R)， 又a·c＝4λ－2λ＝2λ＝4， 所以λ＝2，c＝(4，2)，|c|＝＝2. 3．(2023·广东东莞模拟)已知a＝(－2，1)，b＝(k，－3)，c＝(1，2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为(　　) A．或 B．或 C． D． A　解析：由题意得a－2b＝(－2－2k，7)， ∵(a－2b)⊥c， ∴(a－2b)·c＝0， 即(－2－2k，7)·(1，2)＝0，－2－2k＋14＝0， 解得k＝6， ∴b＝(6，－3)， ∴e＝±＝±. 4．(2022·福建漳州三模)已知向量a与b的夹角为45°，|a|＝，|b|＝2，则a·(a－2b)＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 B　解析：因为向量a与b的夹角为45°，|a|＝，|b|＝2， 所以a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝2－2|a||b|cos 45°＝2－2××2×＝－2. 5．(2023·广东梅州月考)若向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝(　　) A．2 B． C．1 D． B　解析：由题意易知， 即 ∴b2＝－2a·b＝2，即|b|＝. 6．(2023·岐山高级中学模拟)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，4)，t∈R，则|ta－b|的最小值为(　　) A． B． C．2 D．10 D　解析：因为向量a＝(－1，2)，b＝(3，4)， 所以ta－b＝(－t－3，2t－4)， 因此|ta－b| ＝ ＝ ＝≥10， 当且仅当t＝时，取得最小值10. 7．(2023·江苏盐城模拟)下列关于向量a，b，c的运算，不一定成立的是(　　) A．(a＋b)·c＝a·c＋b·c B．(a·b)·c＝a·(b·c) C．a·b≤|a||b| D．|a－b|≤|a|＋|b| B　解析：根据数量积的分配律可知A正确； 选项B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确； 由数量积的定义，可知a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉≤|a||b|，故C正确； |a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b ＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 〈a，b〉 ≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2， 故|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确． 8．(2023·福建福州一中模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，若点M在线段BD上，则·的最小值为(　　) A． B．－ C．－ D． B　解析：建立如图所示的平面直角坐标系． 因为AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1， 所以B(2，0)，D(0，1)，C(1，1)， 设＝λ，0≤λ≤1，所以M(2－2λ，λ)， 所以＝(2－2λ，λ)，＝(1－2λ，λ－1)， 所以·＝(2－2λ)(1－2λ)＋λ(λ－1) ＝5λ2－7λ＋2＝5(λ－)2－， 当λ＝时，·取得最小值为－. 9．(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________． 答案：－　解析：c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－. 10．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题．现有△ABC满足“勾3股4弦5”，其中“股”AB＝4，D为“弦”BC上一点(不含端点)，且△ABD满足勾股定理，则(－)·＝________． 答案：　解析：由等面积法可得AD＝＝，依题意可得AD⊥BC， 所以(－)·＝·＝||2＝. 11．(2023·湖北恩施质检)圆内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则·＝________． 答案：－12　解析：如图所示，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4， ∴·＝(＋)· ＝·＋· ＝||||cos ∠BDA－||||cos ∠BDC ＝||2－||2＝4－16＝－12.