第5章 课时作业(三十) 数系的扩充与复数的引入（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

课时作业(三十)　数系的扩充与复数的引入 [基础保分练] 1．(2022·辽宁大连二模)表示复数z的共轭复数，若z＝1－i，则z·＝(　　) A．2 B． C．4 D．1 A　解析：由题得z·＝(1－i)(1＋i)＝2. 2．(2020·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 C　解析：因为a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2. 3．复数z＝(i为虚数单位)的虚部是(　　) A．－i B．i C． D．－ C　解析：因为z＝＝＝－＋i，即复数z的虚部是. 4．(2023·湖北襄阳模拟)已知i是虚数单位，则复数z＝i2 023＋i(i－1)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　解析：因为z＝i2 023＋i(i－1)＝－i－1－i＝－1－2i，所以复数z在复平面内对应的点是(－1，－2)，位于第三象限． 5．(2021·北京卷)在复平面内，复数z满足(1－i)·z＝2，则z＝(　　) A．1 B．i C．1－i D．1＋i D　解析：由题意可得z＝＝＝1＋i. 6．(2023·南京月考)已知复数(3＋i)z＝1＋ai为纯虚数(其中i为虚数单位)，则实数a＝(　　) A．3 B．－3 C．－ D． B　解析：∵(3＋i)z＝1＋ai， ∴z＝＝＝＋i为纯虚数， ∴解得a＝－3. 7．(2022·北京卷)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝(　　) A．1 B．5 C．7 D．25 B　解析：方法一　依题意可得z＝＝＝－4－3i， 所以|z|＝＝5. 方法二　依题意可得i2·z＝(3－4i)i，所以z＝－4－3i，则|z|＝＝5. 8．(2023·山东临沂模拟)若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝________． 答案：－i　解析：∵z为纯虚数，∴ ∴a＝， ∴＝＝＝＝－i. 9．(2023·皮山高级中学期中)复数＋的共轭复数的虚部为__________. 答案：－　解析：＋＝＋ ＝＋＝＝＝＋i， 所以其共轭复数为－i，其虚部为－. [技能提分练] 10．(2023·山东模拟)已知复数z对应的点在第二象限，为z的共轭复数，有下列关于z的四个命题： 甲：z＋＝－2；乙：z－＝2i； 丙：z·＝4；丁：＝－－i. 如果只有一个假命题，则该命题是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 B　解析：设z＝a＋bi，＝a－bi(a，b∈R)， 由于z对应点在第二象限，所以a＜0，b＞0， z＋＝2a＜0，z－＝2bi，z·＝a2＋b2， ＝＝ ＝＝＋i. 甲⇒2a＝－2，a＝－1，乙⇒2b＝2，b＝1，丙⇒a2＋b2＝4， 丁⇒＝－，＝－⇒b＝－a， 由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，b的值应为. 11．已知复数z满足z2＝12＋16i，则z的模为(　　) A．20 B．12 C．2 D．2 C　解析：设z＝a＋bi，a，b∈R， 则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i， 则解得或 即|z|＝＝＝2. 12．(2023·湖南师大附中一模)已知2＋i是关于x的方程x2＋ax＋5＝0的根，则实数a＝________. 答案：－4　解析：∵因为z＋i是关于x的方程x2＋ax＋5＝0的根，所以z－i也是关于x的方程x2＋ax＋5＝0的根，所以z＋i＋2－i＝a，解得a＝－4. 13．(2023·上海静安模拟)投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数为虚数的概率为________． 答案：　解析：∵复数＝ ＝， 故复数为虚数需满足n2－m2≠0， 即m≠n，故有6×6－6＝30(种)情况， ∴复数为虚数的概率为＝. [素养拉分练] 14．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－1)　解析：因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)，又此点在第二象限，所以解得a<－1. 学科网（北京）股份有限公司 $