第4章 课时作业(二十六) 高考中的三角函数与解三角形问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

课时作业(二十六)　高考中的三角函数与解三角形问题 [基础保分练] 1．(2023·山东临沂模拟)在①c＝a sinC＋c cos A，②sin (B＋C)＝－1＋2sin2，③cos＝sin 2A这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知______． (1)求A； (2)若S＝6，b＝3，求a. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)若选①，由正弦定理可得sin C＝sin A sin C＋sin Ccos A，因为0<C<π，所以sin C≠0，则＝sin A＋cos A＝sin ⇒sin ＝1，而0<A<π，于是A＝. 若选②，由题意得，sin (π－A)＝－cos A⇒sin A＋cos A＝，则sin ＝⇒sin ＝1，而0<A<π，于是A＝. 若选③，由题意得，sin A＝2sin A cos A，因为0<A<π，所以sin A≠0，则cos A＝⇒A＝. (2)由题意，S＝bc sin A＝c×＝6⇒c＝4，由余弦定理cos A＝＝⇒a＝. 2．(2023·山东淄博模拟)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，△ABC为锐角三角形，且AB＝3，AC＝，∠ABC＝60°. (1)求sin ∠BAC的值； (2)求△BCD的面积． 解：(1)在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝，∠ABC＝60°， 由正弦定理得sin ∠ACB＝＝， 又因为△ABC为锐角三角形，∴cos ∠ACB＝. ∵sin ∠BAC＝sin ＝sin (＋∠ACB)， ∴sin ∠BAC＝sin ∠ACB cos ＋cos ∠ACB sin ＝×＋×＝. (2)∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC， ∴sin ∠ACD＝sin ∠BAC＝. 在Rt△ADC中，AD＝AC×sin ∠ACD＝×＝， ∴CD＝＝2， ∵S△BCD＝S△ACD，又S△ACD＝AD×CD＝， ∴S△BCD＝. [技能提分练] 3．(2023·安徽北大培文蚌埠实验学校高三开学考试)在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b，且2c sin B＝a cos . (1)求角C； (2)E为三角形ABC所在平面内的一点，＝＋，且||＝2，求线段CE的长． 解：(1)因为a＝2b，由2c sin B＝a cos 得， c sin B＝b cos ， 由正弦定理得sin C sin B＝sin B cos ， 因为0<B<π，所以sin B≠0， 故sin C＝cos ＝cos C＋sin C， 得sin C＝cos C，即tan C＝， 又0<C<π，所以C＝. (2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4b2＋b2－2b2＝3b2，所以a2＝b2＋c2，即A＝，又因为＝＋，即－＝⇒＝，因为A，B，C不共线，所以CE∥AB且CE＝AB，所以四边形ABEC是矩形，所以BC＝AE＝a＝2b＝2，即b＝1，所以CE＝AB＝c＝b＝. 4．(2022·山东临沂二模)在①x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，②是函数f(x)的一个零点，③函数f(x)在[a, b]上单调递增，且b－a的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知函数f(x)＝2sin ωx cos (ωx－)－(0＜ω＜2)，________，求f(x)在上的单调递减区间． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：f(x)＝2sin ωx cos (ωx－)－ ＝2sin ωx(cos ωx cos ＋sin ωx sin )－ ＝cos ωx sin ωx＋sin2ωx－ ＝sin2ωx－cos 2ωx＝sin (2ωx－). 若选①，因为x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴， 则－－＝kπ＋，k∈Z， 故ω＝－3k－2，k∈Z， 又0＜ω＜2，所以k＝－1，ω＝1，f(x)＝sin (2x－). 若选②，因为是函数f(x)的一个零点， 则×2ω－＝kπ，k∈Z， 故ω＝6k＋1，k∈Z， 又0＜ω＜2，∴k＝0，ω＝1， 所以f(x)＝sin (2x－). 若选③，因为f(x)在[a, b]上单调递增，且b－a的最大值为， 则T＝π＝，故ω＝1， 所以f(x)＝sin (2x－). 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令k＝0，得≤x≤.令k＝－1，得－≤x≤－. 又－≤x≤，所以f(x)在上单调递减区间为，. [素养拉分练] 5．(2023·湖南长沙高三模拟)某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在A，B，C，D四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD中，AB＝千米．A