第4章 课时作业(二十五) 正弦定理、余弦定理及应用举例（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

课时作业(二十五)　正弦定理、余弦定理及应用举例 [基础保分练] 1．(2023·浙江诸暨第二高级中学高三期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝30°，B＝60°，a＝1，则b＝(　　) A．1 B． C． D．2 C　解析：在△ABC中，因为A＝30°，B＝60°，a＝1， 由正弦定理，可得＝， 所以b＝＝＝. 2．(2023·河北高三期中)满足下列条件的三角形有两解的是(　　) A．a＝1，c＝2，B＝90° B．a＝1，b＝3，A＝120° C．a＝2，b＝3，sin A＝ D．a＝2，A＝35°，B＝24° C　解析：对于A，由于a＝1，c＝2，B＝90°，所以b＝＝，是唯一的，所以只有一个解，所以A不符合题意， 对于B，由正弦定理得＝， 即＝，得sin B＝＞1，无解，所以B不符合题意， 对于C，根据正弦定理＝，得sin B＝＝，因为a＜b，故B＝30°或B＝150°，故有两解，因此C选项正确． 对于D，由正弦定理得＝，即＝， 所以b＝是唯一的，所以只有一解，所以D不符合题意． 3．(2023·河南郑州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C等于(　　) A． B． C． D． C　解析：根据题意及三角形的面积公式知 ab sin C＝， 所以sin C＝＝cos C， 所以在△ABC中，C＝. 4．(2023·江西南昌模拟)已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，a＝4，cos 2A＝－，则△ABC外接圆半径为(　　) A．5 B．3 C． D． C　解析：因为cos 2A＝－， 所以1－2sin2A＝－， 解得sinA＝±， 因为A∈(0，π)， 所以sin A＝， 又a＝4，所以2R＝＝＝5， 所以R＝. 5．在△ABC中，若sin (A－B)＝1＋2cos (B＋C)·sin (A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．不含60°角的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 D　解析：∵sin (A－B)＝1＋2cos (B＋C)sin (A＋C) ＝1－2cos A sin B， ∴sin A cos B－cos A sin B＝1－2cos A sin B， ∴sin A cos B＋cos A sin B＝1， 即sin (A＋B)＝1，则A＋B＝， 故△ABC为直角三角形． 6．(2023·河北张家口质检)下列命题中，不正确的是(　　) A．在△ABC中，A>B，则sin A>sin B B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立 C．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 C　解析：对于A，由A>B，可得a>b， 利用正弦定理可得sin A>sin B，正确； 对于B，在锐角△ABC中，A，B∈， ∵A＋B>， ∴>A>－B>0， ∴sin A>sin ＝cos B， ∴不等式sin A>cos B恒成立，正确； 对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B， 利用正弦定理可得sin A cos A＝sin B cos B， ∴sin 2A＝sin 2B， ∵A，B∈(0，π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形， ∴是假命题，错误； 对于D，由B＝60°，b2＝ac， 利用余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac， 可得(a－c)2＝0，解得a＝c， 可得A＝C＝B＝60°，故正确． 7．(2022·南京市建邺高级中学高三期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a－b)sin A＝(b＋c)(sin C－sin B)，则cos C＝(　　) A．－ B． C．－ D． D　解析：在△ABC中， (a－b)sin A＝(b＋c)(sin C－sin B)， 由正弦定理可化成 (a－b)a＝(b＋c)(c－b)，∴a2＋b2－c2＝， 由余弦定理可得cos C＝＝. 8．(2022·河南新乡二模)a，b，c分别为△ABC内角的A，B，C的对边．已知a2＋bc＝b2＋c2，则cos A＝______． 答案：　解析：因为a2＋bc＝b2＋c2，且a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以cos A＝. 9．(2023·江苏七市第三次调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝6，cos B＝，则sin A＝__________． 答案：　解析：∵cos B＝，B为△ABC的内角，则sin B＝，