第3章 课时作业(十七) 利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

课时作业(十七)　利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题 [基础保分练] 1．(2023·湖南娄底月考)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2. (1)若a＝0，求f(x)的单调区间； (2)当x≥0时，f′(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1. 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f′(x)＝ex－1－2ax. 由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立． 故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x， 从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)， 而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0. 由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)， 从而当a>时，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1) ＝e－x(ex－1)(ex－2a)， 故当x∈(0，ln 2a)时， f′(x)<0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln 2a)时，f(x)<0， 综上可得a的取值范围为(－∞，]. 2．(2023·河南商丘模拟)已知函数f(x)＝x(mex－1). (1)当m＝1时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程； (2)当x>0时，f(x)≥x2－2x，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝1时，f(x)＝x(ex－1)， 则f(1)＝e－1， 由f′(x)＝ex－1＋xex可得，f′(1)＝2e－1. 所以函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－(e－1)＝(2e－1)(x－1)， 即(2e－1)x－y－e＝0. (2)由x(mex－1)≥x2－2x及x>0， 得m≥. 令g(x)＝(x>0)， 则g′(x)＝， 当x∈(0，2)时，g′(x)>0； 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0， 所以g(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 所以x＝2是g(x)的极大值点，也是g(x)的最大值点，即g(x)max＝g(2)＝. 所以m≥， 故m的取值范围为. 3．(2022·湖南长郡中学一模)已知函数f(x)＝ln x－a(1－)＋1(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞). (1)因为f(x)＝ln x－a(1－)＋1， 所以f′(x)＝－＝. 当a≤0时，f′(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立； 当a＞0时，由f′(x)>0得x＞a，f′(x)<0得0＜x＜a. 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． (2)由f(x)＞0得ln x－a(1－)＋1＞0， 所以＜ln x＋1， 即a＜对x∈(1，＋∞)恒成立． 令g(x)＝， 则g′(x)＝＝， 令h(x)＝x－ln x－2，则h′(x)＝1－＝， 因为x＞1，所以h′(x)＞0， 所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增， 因为h(3)＝1－ln 3＜0，h(4)＝2－ln 4＞0， 所以存在x0∈(3，4)满足x0－ln x0－2＝0. 当1＜x＜x0时，h(x)＜0，g′(x)＜0； 当x＞x0时，h(x)＞0，g′(x)＞0. 所以g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 所以g(x)min＝g(x0)＝＝x0，所以a＜x0， 因为3<x0<4，a∈Z，所以a的最大值为3. [技能提分练] 4．(2023·山东淄博实验中学月考)已知函数f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝x2＋x(a≤0且a为常数). (1)当a＝0时，求函数f(x)的最小值； (2)若存在x∈(1, 2]使得f(x)≥g(x)－2a－2成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝x ln x(x＞0)，则f′(x)＝ln x＋1， 令f′(x)＜0，得0＜x＜， 令f′(x)＞0，得x＞， ∴f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f()＝－. (2)令F(x)＝f(x)－g(x)＋2a＋2 ＝(x＋a)ln x－x2－x＋2a＋2， 则题目等价于F(x)≥0在x∈(1，2]有解， F′(x)＝ln x－ax＋， 令h(x)＝ln x－ax＋， 则h′(x)＝－a－＝， 当a＝0时，F′(x)＝ln x＞0，则F(x)在(1, 2]上单调递增， 此时F(x)max＝F(2)＝2ln 2＞0，满足题意， 当a＜0时，h′(x)＞0在(1, 2]恒成立， 即F′(x)在(1, 2]上单调递增， 则F′(x)