第3章 课时作业(十六) 利用导数证明不等式（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

令学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时作业（十六）利用导数证明不等式 [基础保分练] 1.(2023.宁夏贺兰期末)已知函数)=anx-x(a∈R) (1)讨论x)的单调性： (2)若a=1,证明：fx)>lex一1x-x2 (1)解：由题知x)的定义域为(0，+∞) f(x)=ax-2x=a-2x2x 当a≤0时，c)0恒成立， 因此x)在(0，十∞)上单调递减； 当a>0时，令fx)>0,得0<x<a2: 令fx)<0,得x>a2) 故)在(0，a2)上单调递增， 在(a2),十∞)上单调递减. 综上所述，当a≤0时，x)在(0，十∞)上单调递减： 当a>0时，)在(0，a2)上单调递增， 在(a2),十∞)上单调递减. (2)证明：当a=1时，fx)=lnx-x2, 不等式fx)>lex-1x-x2,即nx+lx>lex, 令ge)=nx+lx, 则g'(x)=1x-x2=x一Ix2, 令g')=0,得x=1 所以当x∈(0,1)时，g(x)0,x)单调递减： 当x∈(1，十o)时，g'x)>0,gx)单调递增. 所以gm)≥g(1)=1 又当x心0时，1ex<1, 所以nx+lx>lex,故原不等式得证. 2.(2023河北石家庄模拟)已知函数x)=lmr+a(a∈R),曲线y=x)在点(e,e)》处的 切线方程为y=1e (I)求实数a的值，并求f)的单调区间： (2)求证：当x>0时，x)≤x一1 (I)解：fx)=bna+a, ∴fw)=x+a(x+a)2,∴f(e)=ae(e+a)2, 又曲线y=fx)在点(e,e)处的切线方程为y=le, ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则fe)=0,即a=0, x)=1-nx2, 令f)>0,得1-nx>0,即0x<c: 令fx)<0,得1-hx<0,即e, .x)的单调递增区问是(0，©)，单调递减区间是(c,+o) (2)证明：当x>0时，要证fx≤x一1， 即证lnx-x2+x≤0， 令gm)=nx-x2+x(0), 则g'x)=1x-2x+1=1+x-2x2x =-(x-1)(2x+1)x, 当0x<1时，g'(x)>0,gx)单调递增： 当x”1时，g'e)0,g)单调递减， ∴.gx)≤g(1)=0,即当x0时，)≤x-1. 3.(2023湖北武汉月考)已知函数x)=x-2alnx-1x(a∈R) (I)讨论函数x)的单调性： (2)若，龙为函数x)的两个极值点，证明：f(x1)一f(x2)x1一x2>2-4a (1)解：f(x)=x2-2+1x2,x>0. 令x2-2x+1=0,4=4a2-4, 当4≤0，即-1≤a≤1时，f(x)≥0， x)在(0，+∞)上单调递增： 当4>0，即a>1或a<-1时， ①当a<-1时，-2a>0,(x)>0,x)在(0，十∞)上单调递增： ②当a>1时，令fx)=0,=a-a2-1,x=a+a2-1, (0,) ) 2,+∞) fx) ￥ 0 0 + fx) 递增 校大值 递减 极小值 递增 综上所述，当a≤1时，fx)在(0，十∞)上单调递增： 当a>1时，x)在(0，a-a2-1),(a十a2-1,+o∞)上单调递增，在(a-a2-1,a十a2-I) 上单调递减 (2)由(1)知，当a>1时fx)有两个极值点，， 且1十x2=2a,x2=1,不妨设2>1>1>0， 则f(x1)-f(x2)xl-x2 =11x2x1-x2 ◆独家授权侵权必究 令学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 =xIx1-x2xlx2xl-x2 =2-xlx2x1-x2 要证f(xl)一f(x2)x1-x2>2-4a,即证x1x2x1-x2<2, 即2nxlx2<2,n2-龙十lx2<0, 设g0=lnt-t+1t>1), 由(1)知当a=12时，x)在(0，十∞)上单调递增， g(0=一0，则g(0在(1，+∞)上单调递减， ·g0<g(1)=0.原式得证 [技能提分练] 4.(2023·河南郑州模拟)已知函数x)=e一x (1)讨论x)的单调性： (2)证明：当x>0时，x9-nx≥1 (1)解：由题意得fx)=(c+1)e-1, 设g)=c十1)e-1,则g'x)=(x+2)e,令g')<0,得x-2: 令g'xP0,得x>-2 gx)在（一∞，一2）上单调递减，在（一2，十∞）上单调递增。 又g0)=0.当x一-∞时，gx)一0 .当x∈(-∞，0)时，gx0: 当x∈(0，+∞)时，gx)P0. 即当x<0时，f()<0, 当x0时，f(x)>0