第3章 课时作业(十八) 利用导数研究函数的零点问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

课时作业(十八)　利用导数研究函数的零点问题 [基础保分练] 1．已知函数f(x)＝ex－kx(k∈R). (1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)讨论函数f(x)的零点个数． 解：(1)当k＝1时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1， 令f′(x)＞0，则x＞0，f(x)单调递增； 令f′(x)＜0，则x＜0，f(x)单调递减， 故f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，0). (2)设P(x0，y0)是函数y＝ex上一点， 由y＝ex得y′＝ex，所以y＝ex在点P处的切线方程是y－＝ (x－x0)， 令x＝y＝0，则x0＝1， 所以过原点作y＝ex的切线方程是y＝ex. 故当k＜0或k＝e时，函数f(x)有1个零点； 当k＞e时，函数f(x)有2个零点； 当0≤k＜e时，函数f(x)无零点． 2．(2023·河北保定调研)已知函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3有3个零点，求m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A， 所以－4a－4a－2＝，解得a＝2， 即f(x)＝x3－x2－2x－2，所以f′(x)＝x2－x－2. 由f′(x)>0，得x<－1或x>2， 所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞). (2)由(1)知f(x)极大值＝f(－1)＝－－＋2－2＝－， f(x)极小值＝f(2)＝－2－4－2＝－， 由数形结合，可知要使函数g(x)＝f(x)－2m＋3有三个零点， 则－<2m－3<－，解得－<m<. 所以m的取值范围为. 3．(2022·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝ex＋a cos x，其中x＞0，e为自然对数的底数，a∈R. (1)当a＝－1时，讨论f(x)的单调性； (2)若函数f(x)的导函数f′(x)在(0, π)内有且仅有一个零点，求a的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝ex－cos x， 则f′(x)＝ex＋sin x， 由x＞0，则ex＞1，－1≤sin x≤1， ∴f′(x)>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． (2)由f′(x)＝ex－a sin x＝0，得a sin x＝ex， ∵x∈(0，π)，即sin x＞0， ∴a＝，令g(x)＝，0＜x＜π， 则g′(x)＝， 由g′(x)＝0，得x＝， 当0＜x＜时，g′(x)<0， g(x)在(0，)上单调递减； 当＜x＜π时，g′(x)>0， g(x)在(，π)上单调递增； ∵当x→0或x→π时，g(x)→＋∞， 故除x＝外，在(0，π)上的其他g(x)的值都有两个x值与之对应， ∴a＝g()＝e. [技能提分练] 4．(2023·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e. (1)求a，b的值； (2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝ex(ax＋1)， 则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)， 由题意知f′(1)＝e(2a＋1)＝b， f(1)＝e(a＋1)＝b－e，解得 ∴a＝1，b＝3e. (2)g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m， 函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图象与直线y＝m有两个交点，u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)， 当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0， ∴u(x)在(－∞，1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0， ∴u(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e. 又当x→＋∞时，u(x)→＋∞， 当x<2时，u(x)<0， ∴－e<m<0， ∴实数m的取值范围为(－e，0). 5．(2023·河北衡水中学调研)已知函数f(x)＝ex－(k＋1)·ln x＋2sin α. (1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数k的取值范围； (2)当k＝0时，证明：函数f(x)无零点． (1)解：f′(x)＝ex－，x>0， ∵函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴ex－≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即k＋1≤xex在(0，＋∞)上恒成立， 设h(x)＝xex， 则h′(x)＝(x＋1)ex>0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数h(x)＝xex在(0，＋∞)上单调递增， 则h(x)>h(0)＝0， ∴k＋1≤0，即k≤－1， 故实数k的取值范围是(－∞，－1]. (2)证明：当k＝0时，f′(x)＝ex－，x>0， 令g(x)＝ex－，x